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Equation

Posté par
flight
22-08-21 à 16:47

Bonjour

je vous propose l'exercice suivant assez...sympa

il s'agit de résoudre dans Z , l'équation suivante  :

x² +29x + 47 =0[7]  

Posté par
Imod
re : Equation 22-08-21 à 18:12

Bonjour

S'il s'agit d'une congruence modulo 7 alors l'équation s'écrit :

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Imod

Posté par
royannais
re : Equation 22-08-21 à 18:26

Bonjour

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Posté par
royannais
re : Equation 23-08-21 à 08:05

re-bonjour
quelques résultats de plus .....liste exhaustive ?

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Posté par
LittleFox
re : Equation 23-08-21 à 09:25

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Posté par
LittleFox
re : Equation 23-08-21 à 09:27


Ma réponse est la même que celle de Imod mais sous une autre forme (et avec les étapes ).

Posté par
Imod
re : Equation 23-08-21 à 10:39

@LittleFox

Nos réponses sont les mêmes mais pas la méthode . On réduit l'équation modulo 7 ( idem pour chacun de nous ) . Ensuite l'équation a 1 comme racine évidente et on factorise pour trouver la deuxième si on ne la voit pas tout de suite . Après , il faut savoir qu'une équation de degré 2 a au plus de deux racines sur un corps et comme Z/7Z est un corps ...

Imod





  

Posté par
LittleFox
re : Equation 23-08-21 à 12:02


Bien d'accord
Je n'avais pas vu la racine évidente 1

Mais je ne suis pas à l'aise avec la facotrisation car ça ne marche pas toujours.
Par exemple: x²+x+1=0[7] n'a pas de racine réelle (via la le déterminant) mais se factorise malgré tout en (x-2)(x-4)=0 [7].
Comment on fait dans ce cas?

Posté par
Imod
re : Equation 23-08-21 à 12:39

Si , ça marche toujours mais il faut sortir du cadre des réels . Si tu trouves une solution à ton équation disons "2" ( il y a peu de tests à faire ) , tu peux alors factoriser et trouver la seconde ( qui peut être confondue avec la première ) . On peut même passer à des équations d'ordre supérieur car dans les corps finis on n'est plus embêté par des solutions possibles ou non par radicaux .

Imod

Posté par
LittleFox
re : Equation 23-08-21 à 13:49


On a plus de radicaux mais bien des résidus quadratiques à la place. Je ne sais pas si c'est mieux

Dans les réels, l'équation x²+x = 1 a pour solutions \frac{\pm\sqrt{5}-1}{2}.
Mais en modulo 7, la même équation x²+x \equiv 1 \Rightarrow x²+8x \equiv 1 \Rightarrow (x+4)² \equiv 1+16 \equiv 3 n'a pas de solution car 3 n'est pas un résidu quadratique modulo 7.

On peut faire une formule générale au lieu de "tester" les solutions possibles:
7 est un nombre premier \equiv 3 \pmod{4}. La racine carrée (quand a est un résidu quadratique) peut-être calculée par \sqrt{a} \equiv \pm a^{\frac{7+1}{4}} \equiv \pm a^2
Les solutions modulo 7 de x²+x+c \equiv 0 sont donc x = 3 \pm (2-c)^2 si (2-c) est un résidu quadratique ((2-c)^4 \equiv 2-c).

Avec l'équation originale x²+29x+47 \equiv x²+x-2 \equiv 0, on a bien les solutions x \equiv 3 \pm 4² \equiv 3 \pm 2.

Posté par
flight
re : Equation 23-08-21 à 13:58

salut

j'ai pas les memes solutions que vous mais ca marche aussi
x= 1[14]
ou
x= 12[14]

Posté par
LittleFox
re : Equation 23-08-21 à 15:50

@flight
Tes solutions sont un sous ensemble des nôtres . Elles sont incomplètes.

Posté par
carpediem
re : Equation 23-08-21 à 17:16

salut

LittleFox @ 23-08-2021 à 12:02

Mais je ne suis pas à l'aise avec la factorisation car ça ne marche pas toujours. comme dans R la forme canonique existe toujours !!!
Par exemple: x²+x+1=0[7] n'a pas de racine réelle (via la le déterminant) mais se factorise malgré tout en (x-2)(x-4)=0 [7].
Comment on fait dans ce cas?


4 \not \equiv 0  [7] \Longrightarrow x^2 + x + 1 \equiv 0 \iff (2x + 1)^2 + 3 \equiv 0 \iff (2x + 1)^2 - 2^2 \equiv 0 \iff (2x - 1)(2x + 3) \equiv 0 \iff (x + 3)(x - 2) \equiv 0



principe général : je multiplie par ce qu'il faut pour faire apparaitre le début d'une identité remarquable (comme au collège ... il fut un temps) et faire ainsi apparaitre non seulement un carré mais surtout le doube produit (puisque je n'ai pas droit à la moindre fraction ...

ça marche dans tout anneau (commutatif) mais le pb d'un anneau c'est qu'on ne peut pas toujours "diviser" (= multiplier par l'inverse) puisque certains éléments peuvent ne pas avoir d'inverse ...

Posté par
LittleFox
re : Equation 23-08-21 à 18:01


Il me semble qu'il y a quand même un inverse en passant de 2x à x (4 est l'inverse de 2)

J'imagine que je réfléchi trop comme un programmeur: Trouver une recette à appliquer sans devoir faire appel à l'intuition.

Posté par
carpediem
re : Equation 23-08-21 à 18:16

oui bien sûr !!! d'où ma remarque sur le pb des anneaux (diviser = existence d'un inverse)



la recette que je te propose est "la forme canonique" : on peut toujours !!! (mais je ne sais si cette recette est programmable *)

ensuite comme dans les réels on a ou n'a pas de solution !!!

(*) en fait si on a f(x) = ax^2 + bx + c

il faut multiplier f(x) par un coefficient m tel que mf(x) = (a'x)^2 + 2a'xb' + mc = (a'x + b')^2 + c'

et voir si on peut arriver à écrire mf(x) = (a'x + b')^2 - k^2

ensuite pour conclure il faudra bien sûr que a' soit inversible

...



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