Bonjour
je vous propose l'exercice suivant assez...sympa
il s'agit de résoudre dans Z , l'équation suivante :
x² +29x + 47 =0[7]
@LittleFox
Nos réponses sont les mêmes mais pas la méthode . On réduit l'équation modulo 7 ( idem pour chacun de nous ) . Ensuite l'équation a 1 comme racine évidente et on factorise pour trouver la deuxième si on ne la voit pas tout de suite . Après , il faut savoir qu'une équation de degré 2 a au plus de deux racines sur un corps et comme Z/7Z est un corps ...
Imod
Bien d'accord
Je n'avais pas vu la racine évidente 1
Mais je ne suis pas à l'aise avec la facotrisation car ça ne marche pas toujours.
Par exemple: x²+x+1=0[7] n'a pas de racine réelle (via la le déterminant) mais se factorise malgré tout en (x-2)(x-4)=0 [7].
Comment on fait dans ce cas?
Si , ça marche toujours mais il faut sortir du cadre des réels . Si tu trouves une solution à ton équation disons "2" ( il y a peu de tests à faire ) , tu peux alors factoriser et trouver la seconde ( qui peut être confondue avec la première ) . On peut même passer à des équations d'ordre supérieur car dans les corps finis on n'est plus embêté par des solutions possibles ou non par radicaux .
Imod
On a plus de radicaux mais bien des résidus quadratiques à la place. Je ne sais pas si c'est mieux
Dans les réels, l'équation a pour solutions .
Mais en modulo 7, la même équation n'a pas de solution car 3 n'est pas un résidu quadratique modulo 7.
On peut faire une formule générale au lieu de "tester" les solutions possibles:
7 est un nombre premier . La racine carrée (quand a est un résidu quadratique) peut-être calculée par
Les solutions modulo 7 de sont donc si est un résidu quadratique ().
Avec l'équation originale , on a bien les solutions .
salut
Il me semble qu'il y a quand même un inverse en passant de 2x à x (4 est l'inverse de 2)
J'imagine que je réfléchi trop comme un programmeur: Trouver une recette à appliquer sans devoir faire appel à l'intuition.
oui bien sûr !!! d'où ma remarque sur le pb des anneaux (diviser = existence d'un inverse)
la recette que je te propose est "la forme canonique" : on peut toujours !!! (mais je ne sais si cette recette est programmable *)
ensuite comme dans les réels on a ou n'a pas de solution !!!
(*) en fait si on a f(x) = ax^2 + bx + c
il faut multiplier f(x) par un coefficient m tel que
et voir si on peut arriver à écrire
ensuite pour conclure il faudra bien sûr que a' soit inversible
...
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :