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Si n est la valeur commune de E(3x+1) et E(x-3), on a




On multiplie la seconde inégalité par -3 et on l'ajoute à la première pour trouver

-3n-3 + n < 10 < -3n + n + 1, ce qui, puisque 10 est entier, équivaut à

-2n-2 <= 10 et 10 <= -2n
i.e

Donc n vaut soit -6, soit -5.
i.e E(x) = -3 et E(3x) = -7        ou         E(x) = -2 et E(3x) = -6


Soient y,z les parties fractionnaires de x et 3x respectivement.
Si E(x) = -3, alors x = -3 + y et donc -7 + z = 3x = -9 + 3y. Donc z = -2 + 3y appartient à [0,1), ie y >= 2/3
Si E(x) = -2 alors x = -2 + y et donc -6 + z = 3x = -6 + 3y. Donc z = 3y puis y < 1/3


Réciproquement,
Si x = -2 + y avec 0 <= y < 1/3 alors E(x-3) = -5 et 3x = -6 + 3y avec 3y appartenant à [0,1) donc E(3x) = -6 puisq E(3x+1) = -5 = E(x-3)
S = x = -3 + y avec y >= 2/3 alors E(x-3) = -6 et 3x = -9 + 3y avec 3y appartenant à [2,3) donc E(3x) = -9+2 = -7 puis E(3x+1) = -6 = E(x-3)


L'ensemble des solutions est, sauf erreur de ma part

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E(x) - 3 = E(3x) + 1 = 1 + E(x) + E(x+1/3) + E(x+2/3)

donc -4 = E(x+1/3) + E(x+2/3)

La seule façon d'écrire -4 comme somme de deux entiers distants d'au plus une unité est -4 = -2 + -2.
Donc E(x+1/3) = E(x+2/3) = -2

Faire un dessin ou écrire les deux inéquations donne directement avec , ie

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E(3x+1) = E(x-3) E(3x+1) + 3 = E(x-3) + 3 E(3x+4) = E(x)

Soit n = E(x).
En ajoutant membre à membre les deux encadrements suivants :
n 3x+4 < n+1
-n-1 < -x -n
on obtient : -1 < 2x+4 < 1.
D'où -5/2 < x < -3/2. Et deux cas : E(x) = -3 et E(x) = -2.

1er cas : E(x) = -3. C'est à dire -3 x < -2.
E(3x+4) = -3 -7/3 x < -2
S₁ = [-7/3 ; -2[

2nd cas : E(x) = -2. C'est à dire -2 x < -1.
E(3x+4) = -2 -2 x < -5/3.
S₂ = [-2 ; -5/3[

D'où S = S₁S₂ = [-7/3 ; -5/3[.

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posons x = n + f = E(x) + f  et  

E(3x + 1) = E(x - 3) <=> E(3x) + 4 = E(x)  (*)

or

or  
et

cas  n = -3 donc x = -3 + f

  donc

cas 2  n = -2 donc x = -2 + f

  donc

au final