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Équation à 2 inconnues

Posté par Profil Ramanujan 22-02-19 à 19:37

Bonsoir,

Soit \theta \in \R

Je cherche z_1 et z_2 tels que :

z_1 + z_2 = 2 \cos(\theta)
z_1 z_2 =1

Je vois pas comment procéder

Posté par
Jezebethre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 19:44

Bonjour

Inspirez-vous du résultat sur la somme et le produit des racines d'un certain polynôme de degré 2

Posté par
etniopalre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 19:47

z1 et z2   sont racines de X² -  2cos(t)X  + 1  

Posté par Profil Ramanujanre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 19:51

etniopal @ 22-02-2019 à 19:47

z1 et z2   sont racines de X² -  2cos(t)X  + 1  


Oui l'exo était de résoudre cette équation mais j'ai pas compris comment trouver leur valeur.

Posté par Profil Ramanujanre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 19:51

Jezebeth @ 22-02-2019 à 19:44

Bonjour

Inspirez-vous du résultat sur la somme et le produit des racines d'un certain polynôme de degré 2


C'est ce que j'ai fait pour obtenir les 2 équations mais je sais pas résoudre le système.

Posté par
malou Webmasterre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 19:55

ben résous X² - 2cos(t)X + 1 =0 déjà !

Posté par
Jezebethre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 19:55

Il n'y a aucune difficulté, pourquoi passer par ce système ?

Vous ne savez pas trouver les racines d'un polynôme du 2nd degré ?

Posté par Profil Ramanujanre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 19:59

Mais ceci a déjà été traité je l'ai résolu l'exercice avec le discriminant.

Mais ici l'exercice est formulé différemment :

Dire pourquoi les racines de z^2-2z \cos(\theta) + 1=0 permettent maintenant être qualifiées de racines évidentes.

Le théorème étudié dans cette partie du livre est le suivant :
Soit a,b,c 3 complexes avec a \ne 0
Les nombres complexes z_1 et z_2 (éventuellement égaux) vérifient :

z_1 + z_2 = - \dfrac{b}{a} et z_1 z_2 = \dfrac{c}{a} si et seulement si z_1 et z_2 sont les 2 racines éventuellement confondues de l'équation az^2 + bz+c=0

Posté par
malou Webmasterre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:00

la phrase en bleu ne veut rien dire

Posté par
malou Webmasterre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:01

Citation :
Mais ceci a déjà été traité je l'ai résolu l'exercice avec le discriminant.

Mais ici l'exercice est formulé différemment :


et comme d'hab...on ne connait pas les prérequis, ni rien, et ça va encore tourner pendant je sais pas combien de temps autour d'une queue de cerise....

Posté par Profil Ramanujanre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:03

Pareil pour l'exo suivant pas compris la correction de mon livre :

Résoudre l'équation z^2 - (1+a+a^2) z + a(1+a^2)=0 avec a \in \C

Le livre donne directement :

En utilisant somme et produit, on voit que les 2 racines sont a et 1+a^2

Pas compris comment on obtient les 2 racines

Posté par Profil Ramanujanre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:04

malou @ 22-02-2019 à 20:00

la phrase en bleu ne veut rien dire
malou @ 22-02-2019 à 20:00

la phrase en bleu ne veut rien dire


"peuvent" à la place de permettre.

Les prérequis sont le théorème que j'ai recopié et aussi les théorèmes donnant les solutions d'une équations du second degré à coefficients complexes ou réels.

Posté par
malou Webmasterre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:04

ben évident
fais la somme et le produit des deux !

Posté par Profil Ramanujanre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:06

Ah pour le 1er je crois avoir compris.

On avait trouvé en utilisant le discriminant que les solutions étaient e^{i \theta} et e^{- i \theta}

Elles vérifient bien e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos(\theta)

Et e^{i \theta} e^{-i \theta}=1 donc c'est des solutions de (E)

Posté par
malou Webmasterre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:07

ben oui

Posté par
lionel52re : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:07

L'impression de régresser à chaque nouveau sujet...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation à 2 inconnues 22-02-19 à 20:11

malou @ 22-02-2019 à 20:04

ben évident
fais la somme et le produit des deux !


Ah

Je dois avoir z_1 + z_2 = 1 + a + a^2 et z_1 z_2 = a(1+a^2)

Il suffit de prendre z_1 = 1+a^2 et z_2 = a

Je suis bête c'était super facile


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