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Équation à deux inconnus

Posté par
Egien
02-03-18 à 19:43

Bonjour,

j'ai l'énoncé suivant : trouvez les deux nombres dont la somme est 23 et dont le produit est 112.

Alors moi dans ma réflexion je vois x+y = 23 et x*y = 112 mais il me manque la méthodologie tout simplement.

Merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : Équation à deux inconnus 02-03-18 à 20:11

Bonjour,

la méthodologie serait par exemple d'écrire x+y = 23 sous la forme y = 23-x
et de remplacer dans l'autre
on obtient au final une équation du second degré en la seule inconnue x.

c'est une méthode générale pour résoudre des systèmes :
exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir d'une des équations , et la reporter ("substituer") dans l'autre équation.

sans les équations du second degré on peut opérer par essais et erreurs.

Posté par
Egien
re : Équation à deux inconnus 03-03-18 à 12:06

Désolé je reviens de loin et je ne comprends toujours pas... Je suis censé pouvoir résoudre le y = 23-x la ?

et quand vous dites le "le remplacer dans l'autre" vous parlez de quoi ?


et j'ai déjà trouvé la solution par essais et erreurs mais j'aurai besoin de la méthodologie par la suite

Posté par
mathafou Moderateur
re : Équation à deux inconnus 03-03-18 à 12:36

on a un système de deux équations à deux inconnues
il doit etre traité en tant que système et pas comme deux équations séparées et indépendantes

Citation :
Je suis censé pouvoir résoudre le y = 23-x la ?
certainement pas !!

on transforme la première équation en celle là qui est équivalente
pour pouvoir remplacer ce "y" écrit comme ça : "23-x"
dans l'autre et obtenir un système équivalent, mais plus simple à résoudre car une des deux équations n'a plus alors qu'une seule inconnue
c'est une méthode générale de résolution des systèmes d'équations.

\left\{\begin{array}l x+y=23\\xy=112\end{array}\right.

\Leftrightarrow

\left\{\begin{array}l y=23-x\\xy=112\end{array}\right.

\Leftrightarrow (je remplace "y" de la seconde par "23-x" puisque la première me dit que c'est la même chose)

\left\{\begin{array}l y=23-x\\x(23-x)=112\end{array}\right.

la deuxième équation de ce système est alors après développement une équation du second degré en la seule inconnue x
que l'on sait résoudre (en principe sinon il faut apprendre d'abord à résoudre des équations du second degré)
une fois qu'on a ainsi trouvé la valeur de x on la reporte dans y = 23-x pour avoir la valeur associée de y

Posté par
Egien
re : Équation à deux inconnus 03-03-18 à 12:39

Ah oui la je comprends, merci je vais travailler ca.

Posté par
Egien
re : Équation à deux inconnus 04-03-18 à 15:47

En fait je bloque toujours...

Si j'ai bien compris la je me retrouve avec une équation du second degré qui est :  x(23-x) =112 ?

et pour résoudra une équation du second degré je vois que je dois calculer le discriminant avec la formule  b²-4ac.

Cependant quelles sont mes valeurs b,a et c dans mon équation ? J'ai l'impression qu'il me manque une valeur en plus ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Équation à deux inconnus 04-03-18 à 19:17

il faut développer et tout mettre du même côté pour avoir un ax² + bx + c = 0

Posté par
ziodogamamou
re : Équation à deux inconnus 04-03-18 à 19:33

Somme et produit on a
x2-23x+112=0
(x-7)(x-16)=0
X=7
X=16
C'est deux nombres sont 7 et 16

Posté par
mathafou Moderateur
re : Équation à deux inconnus 04-03-18 à 20:16

"somme et produit des racines d'une équation du second degré", certes
cela permet d'obtenir l'équation directement sans intermédiaires
mais ...

- ceci est un raccourci qui n'est pas forcément connu !!

- ceci n'empêche pas qu'il faut ensuite la résoudre, cette équation
et "deviner" qu'elle se factorise ainsi sans aucune étape intermédiaire, c'est du pipeau !!
cela est équivalent à deviner la solution directement sans équation du tout.



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