Bonjour,
Près de trois mois après, je tombe par hasard sur ce sujet que j'avais mis dans mes favoris.
Désolée de ne pas avoir réagi à vos réponses
Je viens d'éditer, comme demandé, un message de thetapinch27
Dès que j'aurai un moment, je regarderai la solution proposée par Imod

@Imod,
Je commence à "décortiquer" ta solution.
Moi aussi, j'aime bien me vider la tête par moments
Je me permets de recopier ci-dessous ta conclusion avec une petite modif pour les branches infinies et (2,-4,3) supprimé aussi des solutions mixtes.

1. Les solutions positives :
(2, 5, 30), (2, 6, 18), (2, 7, 14), (2, 8, 12), (2, 10, 10), (2, 12, 9), (2, 16, 8), (2, 28, 7),
(3, 4, 18), (3, 6, 9), (3, 12, 6), (3, 30, 5), (4, 3, 36), (4, 4, 12), (4, 8, 6), (5, 4, 10), (5, 10, 5),
(5, 40, 4), (6, 3, 18), (6, 4, 9), (6, 6, 6), (6, 24, 4), (8, 4, 8), (8, 16, 4), (10, 5, 6), (12, 3, 12),
(12, 12, 4), (14, 4, 7), (15, 6, 5), (20, 10, 4), (30, 3, 10), (36, 9, 4).

2. Les branches infinies :
(1, 2k,-3k), (k, 2,-3k), (k,-2k, 3) avec k entier relatif non nul.

3. Les solutions mixtes :
(-28, 7, 4), (-24, 3, 8), (-12, 6, 4), (-10,-5, 2), (-10, 4, 5), (-6,-6, 2), (-6, 3, 6),
(-4,-8, 2), (-4, 1,-4), (-4, 4, 4), (-3,-12, 2), (-2, 1,-6), (-1,-2, 1), (-1, 4, 2), (2,-20, 5),
(2,-8, 4), (2,-2, 2), (2, 1,-2), (2, 3,-18), (3,-24, 4), (6,-3, 2).

J'ai tout regardé et je trouve tout bon
Bravo pour ta patience Imod !
Pour ceux qui auraient aussi envie de "mettre les mains dans le cambouis", je vais proposer la même méthode avec un plan un peu différent.
Commencer par les cas les moins pénibles évitera peut-être le découragement qui m'a effleurée par moments.
Et, qui sait, permettra la découverte de quelque chose de plus simple ?

Oui , on peut certainement grandement simplifier la méthode que j'ai utilisée . Je me suis volontairement limité aux valeurs positives pour éviter les erreurs de signes dans les inégalités et parce que c'était plus simple pour moi . En tout cas , vu le nombre de solutions hors branches , il y aura toujours pas mal de travail à faire sur les cas particuliers

Imod

Ci-dessous, un plan un peu modifié de la méthode d'Imod.

Il s'agit de trouver tous les triplets d'entiers relatifs tels que



A) Traiter successivement les cas x = 1, y = 2 puis z = 3.

Puis traiter les trois cas suivants disjoints en supposant x 1 et y 2 et z 3.

B) Un des entiers positif et les deux autres négatifs.

C) Un des entiers négatif et les deux autres positifs.

D) x, y et z tous positifs.

Un conseil pour B) et C) :
Quand on suppose x < 0 par exemple, poser x' = -x.

Deux remarques :
D) est franchement pénible ; mais on a de l'entrainement avec les cas précédents.
Dans B), il n'y a que deux sous cas.

Bonjour,
Quelques remarques pour finir, sur les branches infinies :
On peut les représenter dans l'espace muni d'un repère.
Soit A(1, 2, -3), B (1, -2, 3) et C (-1, 2, 3).
Les triplets ci-dessus appartiennent chacun à deux des trois branches infinies.
Les points A, B, C forment un triangle dont les côtés sont sur trois droites D, D', D".
Les solutions des branches infinies sont les points à coordonnées entières de ces trois droites.
Je trouve assez amusante cette équation du plan (ABC) :

Pour une interprétation géométrique il est aussi amusant de noter que les trois branches infinies sont des droites contenues dans les plans x=1 , y=2 et z=3 et donc concourantes en A(1,2,3) . Il ne semble pas idiot de regarder où se situent les solutions hors branches au regard de ce découpage . Pourquoi ne pas rechercher en plus l'enveloppe convexe des points hors branches
Imod      

Je suis perdue :
Avec K(1,2,3), tes trois plans passent bien par K, mais pas les trois droites.
Les trois droites forment un joli triangle.

Tu as raison de ne rien comprendre , j'ai répondu en aveugle sans papier ni crayon et comme je suis un peu allergique aux écrans , je suis réellement parti en vrille . J'ai retrouvé mes feuilles et mon bureau et j'espère que tout ira mieux .
Pour l'interprétation géométrique , je serais plutôt parti des points A(1,0,0) , B(0,2,0) et C(0,0,3) qui n'appartiennent pas aux branches infinies mais qui s'imposent naturellement . Après les branches infinies passant par ces points sont des droites dont les vecteurs directeurs sont respectivement (0 , 2 ,-3) , (-1 , 0 , 3) et (1 ,-2, 0) . Ces droites ne sont pas concourantes mais sécantes deux à deux et alors les solutions des branches sont dans le plan (ABC) . Ce n'est pas le cas pour toutes les autres mais comment sont-elles disposées par rapport à ce plan ?

Imod

Ça va mieux