Je reproduis une partie de mon message :

Bonjour,

Je comprends bien maintenant pourquoi il y a deux solutions en x, y, z à partir d'une solution a, b, c dont les 6 permutations des valeurs sont équivalentes :
Il y a 2 permutations "circulaires" différentes sur les valeurs de a, b, c.

Par ailleurs les valeurs de x, y, z ne sont pas premières entre elles...
x et y contiennent a, ....etc.

Bonjour,

>> Sylvieg
S'il est vrai que pour N, a, b, c entiers   a³+b³+c³=Nabc   permettent de trouver x/y + y/z + z/x = N,
la réciproque n'est pas vraie pour tout N, x, y, z  entiers vérifiant x/y + y/z + z/x = N

Oui vham, j'en ai bien conscience.
Ce que j'ai utilisé, c'est la similitude des plus petites solutions trouvées pour 17 et 19.
J'espérais ouvrir une piste pour trouver "à la main" des solutions, pas toutes les solutions.
Ce qui aurait été tricher un peu car parti sur l'observation d'un résultat de machine...

nulle triche que de se servir d'un outil numérique pour se dispenser de calculs fastidieux et/ou permettant éventuellement de trouver des solutions ...

Felicitation à vham et surtout à sylvieg pour sin equation cubique que j'ai trouvé en prenant z1 =1 avec z =37^2 x 5 x z1 qui est bien plus compliqué.
Pour l' équation a^3+b^3+c^3= 17 abc, j'ai bidouillé une simplification de la forme:
a^3+b^3+c^3 - 3abc = 14 abc.  

Et la factorisation du premier membre donne :
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 -ab - bc-ac)

et j' essaie à la main de trouver les nombres premiers non pairs sans grand resultat. Faut il des notions plus avancées ou il n' y plus de solutions?

Bonjour Seconde2000,
En fait, nous ne savons pas si il y a une résolution sans "machine", ni avec quelles notions...
Pour 19, voici quelques détails de ma démarche :
Un entier n est congru à 0, 1 ou -1 modulo 3 .
Il est facile d'en déduire que n³ n [3] .
De plus 19 1 [3] .

Si aucun des entiers a, b, c n'est multiple de 3 , alors il n'y a que des 1 ou -1 dans a³+b³+c³ et dans 19abc.
S'il y a un nombre pair de -1 parmi a, b et c , alors a³+b³+c³ -1 [3] , mais aussi 19abc 1 [3] .
Même contradiction si le nombre de -1 est impair.

Un des entiers a, b, c est multiple de 3 . On peut supposer que c'est a .
Comme on cherche a, b ,c premiers entre eux deux à deux, ni b ni c ne sont multiples de 3.
Mais on a alors b³+c³ 0 [3] , car 19abc est multiple de 3.
On a donc b et c opposés modulo 3 .
On peut alors démontrer que b³ et c³ sont opposés modulo 9 .
Puis en déduire que a est un multiple de 9.

Comme cette démarche ne fonctionne pas avec 17, je me suis arrêtée là.

pour 17 peut-être travailler modulo 8 plutôt ?? (ou 4 ... ou 2 mais peut-être pas assez "contraignant") ...

En me basant sur la transformation de l 'equation de départ sous la forme

a^3+b^3+c^3 - 3abc = 14abc ce qui donne en factorisation
(a+b+c) (a^2+b^2+c^2 -ab - ac-bc)=14abc
Et en etudiant les parités sur modulo 4 (pour plus de nuances)  on a les conclusions suivantes pour les solutions fondamentales:

- a, b et c ne peuvent être impairs tous ensemble et de meme
- si deux d' entre les trois chiffres sont pairs, le triplet ne peutaucunement être solution de l' équation.
En considerant a comme pair et c le plus petit des nombres impairs on obtient:
- si a est de la forme 4k, b et c doivent respectivement être de la forme 4k+1 et 4k+3 et inversement.
- si a est de la forme 2k,  k un nombre impair, b et c sont concomitamment de la forme 4k+1 ou 4k+3, les k changeant suivant b et c voulu. a+b+c et a^2+b^2+c^2 -ab - ac-bc  etant premier, il est conseillé de fixer c (par exemple 5, 7 ou 11 suivant la forme) et après determiner les conditions sur le nombre pair afin de fixer les limites de b et commencer 1 à 1 la verification.
C'est irritant mais avec cette methode j'ai pu verifier les chiffres de la reposes donnée ici. Neanmoins avec le PC ça doit aller plus vite.

Pour ton message de 3h :
J'avais trouvé aussi, sans utiliser de factorisation :
Exactement un nombre pair.
Si a 0 [4] alors b 1 [4] avec c -1 [4] ou inversement.
Si a 2 [4] alors b et c 1 [4] ou b et c -1 [4] .

Mais rien ensuite.

Excuse moi sylvieg mais avec la forme originelle, tu ne peux pas deduire que a,b et c ne peuvent être impair à la fois ou 2 des trois ne peuvent être pairs. L' autre factorisation te permet avec une bonne condition sur a et en donnant une valeur arbitraire fixe et impaire à c d' avoir des conditions de majoration sur k' si on considère b =4k' +1 ou 4k' -1 avec c<b.

malou edit > ......on ne fait pas de la retape sur un sujet pour un autre sujet .....

attention comme je le dis ici Équation à trois inconnues on peut très bien avoir un triplet "pair"

maintenant si on se limite à une solution primitive <=> pgcd (x, y, z) = 1 alors évidemment tous diviseur de deux des trois ne divise pas le troisième ...

dans ce cas un travail avec congruence peut apporter des choses intéressantes ... encore faut-il tomber sur le modulo intéressant ...

d'ailleurs lorsque x/y + y/z + z/x = k alors il peut peut-être même intéressant de travailler modulo k (et encore plus si k est premier) puisque les applications carré x --> x^2 et inverse sont des morphismes de groupe (et même bijectif si k est premier pour l'inverse) et que les carrés ben il n'y en a pas plus que (k - 1)/2 ... et un tableur peut les donner rapidement pour des valeurs de k pas trop grande !!

En réalité le problème n'est pas le 17 qu' on connait, c' est les abc, certe premiers,  mais qu' on ne connait pas. Et tres souvent c' est les k2 qui ne sont pas modulo 1 qui repondent au problème, je crois qu' il y a une notion plus avancée qui permet cette resolution facilement. Je cherche toujours.

Bonsoir,
Je réponds au message de 13h17.
Tout d'abord, je répète :

Bonjour,
Une petite coquille avec des copié-collé mal corrigés :

Citation :
S'il y a un nombre pair de -1 parmi a, b et c , alors a³+b³+c³ -1 [4] , mais aussi 17abc 1 [4] .

Bonjour à tous, j'ai réflechi au problème en se basant sur les parité de a, b et c établis par sylvieg et moi (voir message précédent). Avant d' aborder le problème on pose a=2s. Nous avons deja dit que l' équation a^3 + b^3 +c^3 = 17abc est équivalente à
(a+b+c)(a^2+b ^2 + c^2 -ab-bc-ac) = 14abc

A présent nous allons éliminer certains cas en positionnant les facteurs de abc par rapport à a+b+c.

- si abc |  a^2+b ^2 + c^2 -ab-bc-ac.    a+b+c =7 ou a+b+c =14
On sait que a est pair, b et c impairs donc a+b+c est pair donc a+b+c=14 et pas 7.
De même a^2+b^2+c^2 est pair,  ab+ac est pair et bc est impair donc
a^2+b^2+c^2 -ab-ac-bc   est impair. Comme abc est pair, il n' y a donc pas de solution.

- si abc| a+b+c, alors abc =<a+b+c .  Par ailleur
abc -a- b- c = a (bc/ 3 -1) + b (ac/ 3 -1)+
                                c(ba/ 3 -1)
donc max (ac;ab;bc) <3 et dans ce cas a=2 b=1 et c=1 qui ne vérifie pas l'équation. Donc pas de solution.

- si bc|a+b+c, il existe μ entier non nul / a+b+c= μbc. On a aussi:
a^2+b^2+c^2 -ab-ac-bc=
                                      (a+b+c) ^2 - 3 (ab+bc+ac)
Comme a divise cette expression et comme ab et ac sont mutiples de a alors a divise l' expression si
(μbc)^2 - 3bc = ka   ==> bc(bc.μ^2 -3)= ka

Si k différent de bc alors pgcd (a;bc) vaut plus que 1 ce qui est contradictoire avec l'hypothèse départ donc k=bc et dans ce cas bc.μ^2 - 3 = a   ==> μ(a+b+c) = a+3
                                       ==> (μ-1)a +b+c = 3
Si μ=2 , a+b+c=3 impossible. Même si μ>2, pas de solution. Si μ=1 on a      b+c=3 donc b=2 et c=1 ou inversement mais a=-1, ce qui n' est pas un entier naturel non nul.

- si a|a+b+c , avec a = 2s. On a:

(2s+b+c)(4s^2+b ^2 + c^2 -2sb-bc-2sc) = 4 x 7 sbc.         (1)

Considérons μ/ 2s+b+c =4μs donc on a
s = (b+c)/(4μ-2) et en prenant

(4s^2+b ^2 + c^2 -2sb-bc-2sc =
        [(b+c- s)^2 - 3 s^2 -3 bc ]

Et en remplaçant par s=(b+c)/(4μ-2), (1) devient:
4μs [(b+c)^2 (1- 1/ (4μ-2))^2 + 3 ( (b+c)/(4μ-2) )^2  - 3 bc] = 4x7 sbc

Et après developpement et simplification:
μ[((b+c)^2 x (16μ^2 - 24μ +12)/(16μ^2 - 16μ +4) - 3bc] = 7bc

b divise l' expression en crochet si
b| [1+ (2 - 2μ)/(2μ-1)^2 ] . c^2

Comme b et c sont premiers entre eux, alors b n' existe que si μ=1 car μ>0 et si μ>1, alors (2 - 2μ)/(2μ-1)^2 est soit négatif soit une fraction. Si b=c=1 et donc a=2, qui ne sont pas solutions.

Ainsi pour tous ces cas il n' y a pas de solution fondamentale. Pour le prochain message je vais étudier le cas " très épais"  où c divise a+b+c et b divise
    a^2+b^2+c^2 -ab-ac-bc.

Ici on va traiter du cas où c| a+b+c et b| a²+b²+c² -ab-ac-bc. Il faut souligner que a+b+c est pair et le second terme est impair . Ici nous allons travailler avec a = 2ⁿ s; s un entier naturel impair. La méthode est de sortir une equation du second degré autour de c qu' on va resoudre avec des technique d' etude de fonction et des deyerminants pour aboutir au seul triplet fondamental. Nous rappelons que l' équation retouchée est:  

(a+b+c) (a² + b² + c² -ab -ac - bc)  = 14 abc  ou encore
(a+b+c) ((a/2 - b- c)² + 3 a²/4  - 3bc)  = 14 abc. Et en remplaçant a= 2ⁿ s on a:

(2ⁿ s +b+c) [(2^n-1 - b- c)² + 3 x 2^2n-2 s²- 3bc]  = 2ⁿ⁺¹ x 7  sbc
Et avec 2ⁿ s +b+c = 2^{n +1} c,   entier naturel non nul d' où s = ((2ⁿ⁺¹ - 1)c - b)/2ⁿ   on obtient:
2ⁿ⁺¹ c[((2ⁿ⁺¹ - 3)c -3b)²/4 + 3 x 2^2n-2 ((2ⁿ⁺¹ - 1)c-b)²/4 - 3bc] = 2ⁿ⁺¹ x 7 sbc.   Et après simplification on a:
[(2^{2n+2 2} - 3 x 2ⁿ⁺¹ + 3) c² - 3bc (2ⁿ⁺¹ -1) + 3 b²] = 7 b ((2ⁿ⁺¹ -1) c -b) / 2ⁿ
b divise le côté gauche si b| ou b|2^{2n+2 2} - 3 x 2ⁿ⁺¹ + 3); un entier. On remaque que le cas b| est un sous domaine du second cas. Posons avec :
b = 2^{2n+2 2} - 3 x 2ⁿ⁺¹ + 3, et comme le priduit est impair alors aussi est impair. L' equation devient alors en divisant par b:

2ⁿ [ c² - 3c (2ⁿ⁺¹ -1) + 3 b] = 7(2ⁿ⁺¹ - 1)c - 7b ce qui permet d' obtenir l' équation parametrique:

2ⁿ   c ² - (2ⁿ⁺¹ - 1)(3 x 2ⁿ + 7) c + b (3 x 2ⁿ + 7) = 0     (1).
Le discriminat de (1) s' écrit:
_n () =  ((2ⁿ⁺¹ - 1)(3 x 2ⁿ + 7))² - 2ⁿ⁺² b  (3 x 2ⁿ + 7)
Et avec b qui est connu en fontion de , puis après simplification on a:
_n () =   (3 x 2ⁿ + 7) [- 2^{3n+2 3} + 5 x 2^{2n+3 2} - 37 x 2ⁿ +7]  (2)

Le signe du discriminat dépend de la partie en crochet.

Posons
F_n () =  - 2^{3n+2 3} + 5 x 2^{2n+3 2} - 37 x 2ⁿ +7     (3)

Etudions cette fonction pour que (2) soit un carré parfait, que nous etudieront sur un autre envoie.

Etude de F_n ()  


F_n () =  - 2^{3n+2 3} + 5 x 2^{2n+3 2} - 37 x 2ⁿ +7     (3)

La dérivée de F par rapport à donne après simplification:
F'_n () = - 2ⁿ x (3 x 2^{2n+2 2} - 5 x 2ⁿ⁺⁴ - 37)

Et son discriminant reduit:
_n ' = (5 x 2ⁿ⁺³)² - 3x37 x 2²ⁿ⁺²
_n ' =2²ⁿ⁺² (400-111)
_n ' = (17 x 2ⁿ⁺¹)²
Ainsi on a pour les extremum:
₁ = (5 x 2ⁿ⁺³ - 17 x 2ⁿ⁺¹) / 3/ 2²ⁿ⁺² =  1/ 2ⁿ⁺¹

₂ = (5 x 2ⁿ⁺³ + 17 x 2ⁿ⁺¹) / 3/ 2²ⁿ⁺² =  37/ 3/2ⁿ⁺¹ ainsi ₁ < ₂

La formule de la dérivée nous montre que F_n est croissante sur [₁ , ₂ ] et decroissante en dehors de cet intervalle et specialement sur [₂ , +]. En verifiant on remarque toujours que F_n (₂)  est tjrs très positif et F_n tend vers - lorsque tend vers +, donc il existe un entier juste avant que F s' annule, et cet entier determine le critère d' arrêt pour rechercher le bon
impair.

Recherche des n et à vérifier:

-- Pour n=5, ₂= 0,1927 et F₅(1) = -91289 donc pas de solution testable.
-- Pour n =4, ₂= 0,3854 et F₄(1) = -6729  donc pas de solution testable.
-- Pour n=3, ₂ = 0,7708 et F₃(3) = - 6729 donc =1  est la seule  solution testable.
-- Pour n=2, ₂= 1,5416  et F₂(3) = - 1589 donc =1  est la seule solution testable.
-- Pour n=1, ₁= 3,0833  et F₂(5) = - 2563 donc =1 et 3  sont les seules solutions testables.
Pour n>5 , F_n(1) est largement négatif d' où pas de solution testable sur cette branche.
Ainsi les couples  (n;) à tester pour voir si
_n() = (3x 2ⁿ + 7) [- 2^{3n+2 3} + 5 x 2^{2n+3 2} - 37 x 2ⁿ +7 ] est un carré sont: (n;0) , (3;1), (2;1), (1;1), (1;3)

Verification des 5 couples:

--> Pour n un entier naturel et = 0
_n= 7² mais ce cas correspond à a=b=c=0 qui n' est pas solution fondamentale.

--> Pour n=3  et = 1
_n= 55 x 371 qui n' est pas un carré .

--> Pour n=2   et  = 1
_n= 31 x 243 qui n' est pas un carré .

--> Pour n=1 :
  Si  = 1
_n= 13 x 61   qui n' est pas un carré.
Si = 3
_n= 25x 361 = (5x 19)² qui est  un carré.

Pas la peine d' étudier  n=0, c'est pas la peine car a est forcément pair.

En retournant à l' equation (1) (voir envoie précédent)  ,on a les valeurs suivantes pour c:

c₁= ((4x3-1)(6x3+7)+95)/12/
c₁= 370/12/
Or 12 ne divise pas 370 donc pas de solution pour .

c₂= ((4x3-1)(6x3+7)-95)/12/
c₁= 180/12/
                             = 15/

or b = 16 ² - 12 +3 = 111 = 3x37 dans le cas ou =3

Si = 37 , pas de solution pour c et si = 3 alors b=37 et c=5 et ainsi a=18 car s=9.

Ainsi ceci complete la démonstration pour a³   + b³ + c³ = 17 abc  avec comme seule solution fondamentale a=18, b=37 , c=5.

Néanmoins l' equation de base n' est pas fini car il reste des cas généraux que je vais envoyer dans le prochain envoie.

"Daignez m' excuser pour la conclusion de départ. "


Et pour démontrer que x/y +y/z +z/y =17 est équivalente à a³+b³ +c³ = 17abc sous certaines conditions.



x, y et z étant des solutions fondamentales, posons d=pgcd (y,z) et y= d y'  et z= d z'

L'équation de depart revient à
d.z'.x² + d^{2_{.x. y'[sup]2}} + d³ z' ²y' = 17 d².x.y'.z'
z'.x²= d( 17 dxy'z' - xy' ² - dy'z' ²)  
donc d|z' et posons z' = dz" et en remplacant et en factorisant:
d³ y' z" ²= x (17dy'z" - y' ²- xz" )  donc x|z"².y'  car d est premier à x par hypothèse. En posant z" = .z[sub]1 ; x= ² .x₁      et y' = x₁y ₁  avec , z₁, x₁  2 à 2 premiers entre eux. L' rquation devient:
³.x₁.z₁= y₁ (17 dx₁z₁- x₁².y₁ -d³ z₁)  donc y₁ |x₁ car il est premier avec et z₁.
De même en factorisant suivant x₁ on remarque que x₁ |y₁ d' ou ces deux nombres sont égaux. Après remplacement et simplification on a:
17dz ₁.y₁ = y₁³ + z₁. ³ + z₁. d³
Et en regroupant les facteurs contenant z₁ on deduit que z ₁|y₁ ce qui est impossible car pgcd (z" , y' )= pgcd (z' , y' )= 1.

Ainsi l' equation de départ est équivalente à l' équation cubique. Ceci fini notre aventure sur x/y +y/z +z/y =17 .

Bonjour à tous, depuis les 19 et  20 que j' ai posté personne n'a corrigé pour voir la véracité du raisonnement.
Je tient à rappeler le travail concernait les solutions fondamentales , le teste s' obtient en remarquent la cyclicité et l'homogénéité de l' equation.

Merci d' avance.

faut dire que tes pavés non mis en forme sont assez rebutants à lire... pas sur que quiconque ait eu la patience de le faire

C'est un peu vrai mais j'ai fait assez d' effort pour les formules mais pas pour les transitions mais avoue cas même que c'est harassant avec une fonction doublement paramétrique (fonction puissance sur n, carré sur ) et des circonvolutions parfois acrobatiques.

Neanmoins comme on est ici pour donner et revoir, pourriez vous me montrer comment mettre en forme correctement et lisiblement pour les prochaines fois?

C'est vrai que pour la première partie je n' ai pas utilisé mais pour les 3 ou 4 derniers messsages, je l' ai bien utilisé c' est pour cela d' ailleurs que ça m' a pris du temps.

ça n'en reste pas moins des pavés indigestes ...

Lafol, l' épaisseur du travail provient de la complexité du problème posé ; et la redaction a été le plis développé pour ne pas parachuter des resultats.
Sinon pour resumer j'ai distingué des cas qui sont facilement eliminables (1er envoie), ensuite j'ai étudié le cas ou b et c divise soit  a+b+c  soit a² +b² + c²-bc-ac-ab. En se concentrant sur a+b+c et en eliminant la partie paire on reecris la partie impair de a en fonction de b,c et un autre entier déterminé par la division de a+b+c par 2ⁿ⁺¹ x c. En remplacant s, on obtient une equation du second degré en c avec pour paramètres et n.  c existe si le discriminant de l' equation est un carré parfait. En etudiant ce discrminant on arrive à encadrer par le tableau de variation. De là on determine les n et permettant de calculer le discrinant afin de verifier son la solution unique.

Voyez vous, le probleme vient de la complexité du probleme et non de la redaction.

Bonjour,
Je suis nouveau dans le forum et ne manipule pas le LATEX,
donc veuillez m'en excuser.En me plaçant dans l'ensemble
des entiers positifs (je n'ai pas étudié le cas des entiers
de signes quelconques), j'ai trouvé une méthode qui me semble
trop simple pour vérifier la non-existence des solutions à
l'équation (A) : (x/y)+(y/z)+(z/x)=17.
Si vous voyez une faille dans ma démonstration, n'hésitez pas
à me le signaler et me dire pourquoi elle serait fausse.
Donc je me lance.
Quelques remarques avant de commencer:
-Si une solution (x0,y0,z0) existe, alors toutes les solutions
de la forme (kx0,ky0,kz0) existent.
-De même si une solution (x0,y0,z0) existe, alors toutes les solutions
déduites de la précédente par permutions existent aussi.
Donc choisissons le type de solution particulière suivant:
x=1, y, z.
L'équation (A) devient : (1/y)+(y/z)+(z/1)=17.
Posons (1/y)+(y/z)=a, donc a appartient au entiers positifs
et a=17-z.L'équation (B) : a=(1/y)+(y/z) devient une équation du second degré en y:
(y^2)-y*(a*z)+z=0, avec z=17-a et a et z sont des entiers positifs,
a varie de 1 à 17 et z varie de 16 à 0.
Le discriminant de cette équation est delta=(a^2)*((17-a)^2)-4*(17-a).
Pour que y soit un entier, il faut que delta soit un carré parfait.
Or on sait que la différence entre deux carrés parfaits consécutifs((c+1)^2) et (c^2)
vaut (2*c+1).Prenons donc c=a*(17-a) et en calculant la différence entre
((c+1)^2) et (c^2), on obtient : 2*a*(17-a)+1.
A ce niveau on constate que pour a>=2, (2*a*(17-a)+1) est supérieur à 4*(17-a).
Donc pour a>=2, delta n'est pas un carré parfait et donc que y ne peut être entier.
Pour a=1, z=16 et donc l'équation (B) devient : (y^2)-y*(16)+z=0 qui n'admet pas de
solution entière.
Donc si x, y, z sont des entiers positifs, il n'y a pas de solution à l'équation :
(1/y)+(y/z)+(z/1)=17.

pavé indigeste, retours à la ligne intempestifs et pas de saut de ligne ...

c'est illisible ...

Bonjour,

la réponse de Sylvieg est exacte est exacte avec les valeurs 450, 11988, 6845.
Mais comme carpediem l'a dit, mon pavé semble indigeste.
Néanmoins je le reposte avec un peu plus d'aération, car j'aimerais savoir où mon raisonnement fait défaut.

Si vous voyez une faille dans ma démonstration, n'hésitez pas
à me le signaler et me dire pourquoi elle serait fausse.
Donc je me lance.

Quelques remarques avant de commencer:
- Je me suis restreins aux entiers positifs ou nuls.
-Si une solution (x0,y0,z0) existe, alors toutes les solutions
de la forme (kx0,ky0,kz0) existent.
-De même si une solution (x0,y0,z0) existe, alors toutes les solutions
déduites de la précédente par permutions existent aussi.
Donc choisissons le type de solution particulière suivant:
x=1, y, z.
L'équation (A) devient : (1/y)+(y/z)+(z/1)=17.

Posons (1/y)+(y/z)=a, donc a appartient au entiers positifs
et a=17-z.L'équation (B) : a=(1/y)+(y/z) devient une équation du second degré en y:
(y^2)-y*(a*z)+z=0, avec z=17-a et a et z sont des entiers positifs,
a varie de 1 à 17 et z varie de 16 à 0.

Le discriminant de cette équation est delta=(a^2)*((17-a)^2)-4*(17-a).
Pour que y soit un entier, il faut que delta soit un carré parfait.
Or on sait que la plus petite différence entre deux carrés parfaits est celle
entre deux carrés parfaits consécutifs ((c+1)^2) et (c^2) qui vaut
(2*c+1).

Prenons donc c=a*(17-a) et en calculant la différence entre
((c+1)^2) et (c^2), on obtient : 2*a*(17-a)+1.

A ce niveau on constate que pour a>=2, (2*a*(17-a)+1) est supérieur à 4*(17-a).
Donc pour a>=2, delta n'est pas un carré parfait et donc que y ne peut être entier.
Pour a=1, z=16 et donc l'équation (B) devient : (y^2)-y*(16)+z=0 qui n'admet pas de
solution entière.

Donc si x, y, z sont des entiers positifs, il n'y a pas de solution à l'équation :
(1/y)+(y/z)+(z/1)=17.

La faille est là :

Bonsoir à tous, le travail de dingomatix pêche par le fait, que si une solution fondamentale existe, rien ne prouve une des trois inconnues a pour valeur 1. S' il veut prendre x=1 alors z et y doivent être des entiers et dans ce cas on se retrouve avec 4 inconnues à ramener astucieusement à trois (travail supplémentaire.

Il existe un cas general pour resoudre dans le cas x³+ y ³+ z³ = nxyz. Il y a une formule generique pour engendre de nouveau quadruplet (x,y,z,n), quadruplet solution fondamentale.

Excusrz pour l' erreur de frappe. Lire:

rien ne prouve une des trois inconnues a pour valeur 1. S' il veut prendre x=1 alors z et y doivent être des nombres rationnels (fraction).

Bonjour
Mais c'est bon sang bien sur : supposer que la solution minimale 1 pour x est valable est une absurdité énorme. Merci à vous de me l'avoir fait remarquer.

Bonjour dingomatix, comme je te le disait x peut être egal à 1 si z et y sont drs fractions l' equation est homogène ; et après tu lisses les solutions vers les nombres réels.

Pour la solution complète de l' equation, daigne lire mes envoie du 19 /04 et 20 /04. Et surtout il te faut de la patience pour tout comprendre car la demonstration m' a pris 2 ou 3 semaines.
En remarquant evidemment que l' equation est homogene et cyclique, on se ramène à chercher les solutions fondamentales. Et après recherche il n' y en qu' une seule en dehors du triplet nul.

Pour comptendre la demonstration suivant le bon fil, tu commences par l'envoie du 20/04/2018 à 16:04, et ensuite tu lis en descendant les envoies du 19/04 à  23:34, puis celui de 20/04 à 04:39 et enfin celui du 20/04 à 13:34. Il peut y avoir des coquilles dans les notations mais les resultats sont solides.

N' oublies pas aussi le resultat intermediaire de sylvieg sur les parité:

- si a=2s, s un nombre impair alors a et b sont de la forme 4k+1
- si a= 2ⁿ.s, s impair, alors a=4k+1 et b= 4j -1 ou vice versa, k et j des entiers naturels.

En vérité,  lorsque l' équation

a³ + b³ + c³ = N , N entier (resp. entier naturel) alors l' équation de base
X/ Y + Y/ Z+  Z/ X =N

a 2 solutions fondamentales.  En effet chaque nombre X, Y et Z est le produit d' un entier (resp. entier naturel) et le carré de a , b et c, donc en fixant c², pour les cas simple on peut mettre a ou b; ou inversement.

Nous tenons à rappeler que l' affirmation de "vham" (envoie du 07/04/2018 à 14:32) est erroné et qu' en général l' équivalence s'établit bien:

X/ Y + Y/ Z+  Z/ X =N , N entier (resp. Entier naturel)

a,b et c entiers (resp. entier naturel) 2 à 2 premier entre eux/
a³ + b³ + c³ = N

avec (en pompant Sylvieg allègrement)
X= b. a²  ou  c.a²
Y= c.b²  ou   a.b²
Z= a. c²  ou   b.c²

Peut être que pour le cas N=0 serait compliqué mais ça s' établit correctement.

Pour le démonstration,  elle est semblable à l' envoie du 20/04/2018 à 16:04.

Bonjour,
J'ai essayé de comprendre le message du 20/04/2018 à 16:04.
Je bloque à "En posant z" = .z₁ ; x= ² .x₁ et y' = x₁y ₁ avec , z₁, x₁ 2 à 2 premiers entre eux. "
Je ne vois pas d'où ça sort.

Pour ce qui est de l'équivalence, ce qui est déjà prouvé :
A partir d'une solution de a³+b³+c³ = 17abc on peut construire des solutions de (x/y)+(y/z)+(z/x)=17.

Pour la réciproque, il faudrait démontrer qu'à partir d'uns solution fondamentale de
(x/y)+(y/z)+(z/x)=17 on peut construire une solution de a³+b³+c³ = 17abc .
Pour cela, il faudrait obtenir à la fin de ton message quelque chose du genre
x = x₁ ² y = dx₁² et z =d² .

Ma connexion Internet est des plus capricieuse et je ne suis pas très disponible depuis un moment et pour quelques semaines encore.

Bonsoir SYLVIEG, on est en train de démontrer l' équivalence en utilisant des théorèmes d' equivalence en utilisant l' envoie que tu es en train d' étudier.

Pour là ou tu bloques, la relation provient de la propriété

x divise y' z"²;

de là on peut construire chaque inconnu x, y' et z"  en tenant compte du carré de z"  afin d' assurer la division(sinon on aurait pu dire x | yz"   tout court ).

Pour les primalités 2 à 2 entre eux de , z₁ et y ₁ voici les explications:

- pour et z₁: est defini par hypothèse comme pgcd (x,z" ) =pgcd (x,z)  car d =pgcd (y,z) ne divise pas x. Même le reste de la demonstration donnera z₁=1

Mais si tu veux tu peux te passer de cette hypothèse .

-pour et y₁: cela est evident car pgcd (y' , z" )= 1.
En effet pgcd (y, z) = d      et y=dy'  et
z =d². z"

- pour z₁ et y ₁: cela est évident car autrement pgcd (z₁, y ₁) = pgcd (x, y' , z" ) = pgcd (x,y,z) ce qui est absurde car par hypothèse   "on cherche les solutions fondamentales".

Voilà, je crois que c' est plus clair.

Excuse sylvieg, le troisième tiret se démontre comme le deuxième.

Normalement l' argument du troisième que j'ai posté sied pour et y₁. Merci pour la compréhension.

Bonjour,
Franchement, pour moi, ce n'est pas plus clair...
"l' équivalence en utilisant des théorèmes d' equivalence "

Je bloque toujours à
"En posant z" = .z₁ ; x= ² .x₁ et y' = x₁y ₁ avec , z₁, x₁ 2 à 2 premiers entre eux. "
Est-ce
= PGCD(x,z'') et z" = z₁ ; x= x₁ sans carré au dessus de avec , z₁, y₁ 2 à 2 premiers entre eux ?

Si est un PGCD, il faut l'écrire avant de l'utiliser.

Si tu veux qu'on regarde ce raisonnement, je te conseille de l'écrire à nouveau en l'aérant, le précisant, et surtout en utilisant le bouton "Aperçu" avant de poster pour le relire soigneusement, et améliorer sa présentation.

Sylvieg,  nous avons la relation

x     divise y' z" ² , avec comme connus pgcd (y' , z" ) =1 ; donc en supposant:

- pgcd (x,y' ) = x₁, alors il existe y₁ et k  tels que
    y' /x₁ = y₁
et x / x₁ = k;
"dans ce cas k et y ₁ sont premiers entre eux"  donc il reste à construire k et z" pour que  
   k | z" ².

- si k| z"  cela vérifie l' égalité de haut mais cette hypothèse est faible, l' hypothèse la plus forte est que k divise z" ² sans que " forcément"        k|z" . Dans ce cas on pose alors:

k|z" ² z₁ /
z" ² = k z₁ , z1 pouvant etre premier ou pas avec k.

Posons = pgcd (x,z" )
alors ² divise z" ²; Donc si k | z" ² sans que k|z"  qui est "l' hypothèse forte", alors ² divise k d' une part. Et d' autre part, comme k divise aussi (en plus de x) z" ² alors k= ² d' où:

z" ² = ² . z₁

Des premiers et second tirets on a la construction:
x = x₁. k = ² . x ₁
y' = x₁. y ₁
z"= . z ₁ , z₁ et n' étant pas forcément premier entre eux.


Un autre moyen plus terre à terre de démonter est de reprendre le travail en posant:
*= pgcd (x,z)  pour arriver à ² divise x
* et enfin x₁= pgcd (y,x)  et d' arriver à x ₁²
divise y .
En résolvant un système à 3 équations avec l' equation de départ (x/ y +y/z+z/x = 17), on trouve:

z" = ; y" = d;
x" = x₁.
, x ₁ et d sont premiers entre eux et engendreront notre équation cubique.(a³ + b³ +c ³ = 17abc).

Pour ce qui concerne les primalités les voici pour les constructions de z" , x et y' :

- et z ₁ ne sont pas forcément premiers entre eux; on demontrera plus tard que z₁=1.

- x ₁ et y₁ ne sont pas forcément premiers entre eux ; à la fin il en sortira que les deux sont egaux.

- et x₁ sont premiers entre eux. Ainsi que et y₁

- z₁ premiers avec x₁ et y₁.

Voilà les relations de primalité.

RÉSOLUTION DE L 'ÉQUATION
x/y +y/ z +z/x =  N;  x,y, z *  et N

Soit à résoudre:
                  x/y +y/ z +z/x =  N

x,y, z *  et N

L' équation est homogène et cyclique donc nous chercherons les solutions fondamentales c' est- à-dire
pgcd (x,y,z) =1. Nous remarquons aussi que connaissant un triplet solution, l'homogénéité assures qu'on puisse avoir x, y et z négatif. Le cas de N négatif sera démontré plus loin: "on travaillera donc avec N entier naturel au départ ".

Le travail sera réalisé en 3 étapes:

I - Pour N fixé,   x/y +y/ z +z/x =  N
a,b,c entiers naturels premiers 2 à 2 / a³ +b³ + c³ = N abc

II- Quelques cas particuliers de
            a³ +b³ + c³ = N abc

III - Résolution  générale de
             a³ +b³ + c³ = N abc

RÉSOLUTION DE L 'ÉQUATION
x/y +y/ z +z/x =  N;  x,y, z *  et N
            
I -   Pour N fixé,   x/y +y/ z +z/x =  N
a,b,c entiers naturels premiers 2 à 2 / a³ +b³ + c³ = N abc    

Posons pgcd (z,x) = a ;  pgcd (x,y) = b
        et    pgcd (y,z) = a.

Soit x', x", x₁, y', y", y₁, z', z",  et z₁  , dont la pertinence sera justifiée plus loin, des entiers tels que:
pgcd (y,z)=c         z= c.z' =c ². z" ;  
                                       y= c.y₁

pgcd (x,y)=b         y= b.y' =b ². y" ;  
                                       x= b.x₁

pgcd (z,x)=a         x= a.x' =a ². x" ;  
                                       z= a.z₁

Considérons les lemmes suivants malgré leur évidence:
Lemme 1:
               pgcd (x,y,z)=1   
         pgcd (x,c)= pgcd (z,c) = pgcd (y,a) =1

Lemme 2:
    Soit Q' et Q", 2 entiers naturels , k' et k" leur quotient respectif par k, leur pgcd.
On a:

pgcd (Q" , k' )= pgcd (Q' , k" )= pgcd (k' ,k" ) = pgcd (k, k'  ou/et  k" )= 1.


1)    Pour N fixé,   x/y +y/ z +z/x =  N
a,b,c entiers naturels premiers 2 à 2 / a³ +b³ + c³ = N abc    

Travaillons avec c = pgcd (y,z) on a :

        x/y +y/ z +z/x =  N

x².z + y².x +  z².y = N xyz
Avec y₁ et z'  prédéfinis auparavant on obtient après simplification:
x².z' + c.y₁².x + c².z' ².y₁ = Ncxz'.y₁

x².z' = c (Nxz'.y₁ - y₁².x -c.z'².y₁ )
Or d' après lemme 1, pgcd (x,c) =1
donc     c|z' d' où l' existence de z" / z' = c.z" ce qui donne après substitution et simplification :
x₂.z" = Ncxz" .y₁- y₁².x - c³.z" .y₁     [1]

  c³.z" .y₁ = x. (Ncz" .y₁ - y₁² -x.z" ) [i]

        Or pgcd (x,c) =1 d' où
  x | y₁. z" ²     [2]

Comme l' équation est cyclique on a les relations similaires en travaillant a et b:

[1] z=c².z"   y= b².y"    x= a².x"

[2]   x | y₁. z" ²  ;   z | x₁. y" ²   ;      
                    y | z₁. x" ²  

De ces relations , construisons x, y₁ et z"  et terminons la démonstration de 2 manières.

a)  METHODE 1
                pgcd (x,c) = 1 d' où
           pgcd (x,y) =pgcd (x,y₁)= b donc il existe x ₁ / x=b.x₁
Et par [2],   x₁ | z" ².  2 cas se présentent:  soit   x₁ | z"  soit   x₁ | z"² sans que   x₁ | z" d' où:

y₁= b y₃  ; z" = a.z₂
Et x= a.b   ou  x = a².b

- z₂, entier naturel premier avec a , x₁, y₁ et y₃
-y₃ premier avec a, z₂, mais pas forcément avec b.

Pour x,  on sait que par [1], a² |x donc x = a².b  . Ainsi avec:
y₁= b y₃  ; z" = a.z₂ ; x = a².b

[i] c³.y₃.z₂²= b. (Nca.y₃.z₂ - b.y₃² - a³.z²)

Or pgcd (b,c) =1 et  pgcd (b,z₂) =1
donc  b | y₃ et de même

[i]   a³.b.z₂ = y₃. (Nca.b.z₂ - b.y₃² - c³.z₂²)    donc  y₃ | b.

En conclusion b = y₃ (b= y₃ si on etait dans )

[i] b ³ = z₂ (Nabc - a³ - b³)
Or pgcd (b,z₂) = 1 d' ou z₂ =1. (z₂ = 1 dans )

De cette dernière égalité nous avons
a³ + b³ + c³ = N abc.   [ii]
   a,b et c 2 à 2 premiers entre eux.

- ( si b, y₃ et z₂ sont de signe contraire, en multipliant l' équation [i] par 1 ou -1, on obtient:
a³ + b³ - c³ = N abc et en posant c' =-c on obtient
a³ + b³ + c'³ = (-N) abc' et en posant N' =  -N , nous voyons bien que N pouvait être negatif.
En effet si |c³| > |a³ + b³ | alors N est négatif  pour

a³ + b³ - c³ = N abc )







              

RÉSOLUTION DE L 'ÉQUATION
x/y +y/ z +z/x =  N;  x,y, z *  et N
            


1)    Pour N fixé,   x/y +y/ z +z/x =  N
a,b,c entiers naturels premiers 2 à 2 / a³ +b³ + c³ = N abc        
                SUITE



[1] z=c².z"   y= b².y"    x= a².x"

[2]   x | y₁. z" ²  ;   z | x₁. y" ²   ;      
                    y | z₁. x" ²  



b)  METHODE 2
        
Avec [1] et  [2] on a :

x | y₁. z" ²      et  z=c².z"  

z | x₁. y" ²      et  y=b².y"

y | z₁. x" ²      et  x=a².z"


Et en construisant comme dans la methode 1 on obtient finalement:

z" = a   y₁= b²  et   x = a² .b

y" = c   x₁= a²  et   z = c² .a

x" = b   z₁= c²  et   y = a² .b

Et en retournant dans l' equation de depart on obtient :
a³ + b³ + c³ + c= N abc avec a, b et c 2 à 2 premiers entre eux.

Ainsi nous avons démontré l' existence de a,b et c. Prouvons alors le sens inverse et trouvons l' ensemble des valeurs fondamentales du triplet (x,y,z).


2)   a,b,c entiers naturels premiers 2 à 2 / a³ +b³ + c³ = N abc     Pour N fixé,   x/y +y/ z +z/x =  N
    

- en général pour avoir un triplet, il faut que a, b et c 2 à 2 premiers. En effet soit
m = pgcd (a,b)  avec a=m.a'  et b= m.b' et tel que m premier avec c,  on a:
m ³ (a' ³ + b' ³) + c ³ = m². N a' .b' .c
c³= m² (N a' b' c- ma' ³- mb ³)
donc m | c   , contradictoire svec notre hypothèse de départ dont si a et b ne sont pas premiers alors a, b et c ont ont même diviseur plis grand que 1.

L'équation :
a³ +b³ + c³ = N abc   est symétriques dont 2 fois cycliques (sens direct comme indirecte) et comme a, b et c ne sont forcement égaux alors les 2 triplets

(x,y,z) = (a².b; b².c; c².a) , (a².c; c².b;  b².a) sont solution après verification. Le nombre de triplet est unique si a=b=c =1 (solution fondamentale.

Ceci conclut la demonstration. On s' attelera à trouver de manière générale et pour qq cas particuliers des solutions originales.

RÉSOLUTION DE L 'ÉQUATION
x/y +y/ z +z/x =  N;  x,y, z *  et N
            
II-   Solutions (a, b, c et N ) de cas
                  particuliers de l' équation :
      a³ + b³ + c³ = Nabc

Nous allons distinguer 5 ou 6 grands cas particuliers. La resolution est générale, mais tantôt nous donnons des solutions générales, tantôt des solutions fondamentales.

"Nous rappelons au lecteur que les solutions dont une des inconnues est nulle ne peut être  solution de notre equation
x/y + y/z + z/x = N."

   Cas 1: (a,b,c) = (a , b , a+b); a et b des entiers

- pour tout N ,
(1; -1; 0) est une solution fondamentale.

- pour les triplets non nuls on a les solutions fondamentales:
(a, b, N) = ( b³ + b² + [b- 1]/4 ; b ; 4b² +2) ;  ( b³ - b² + [b+ 1]/4 ; b ; 4b² +2)  , b un entier impair.


   Cas 2: (a,b,c) = (a , b ,- a-b); a et b des entiers
    a³ + b³ + (-a-b)³ = Nab(-a-b)
ab (a+b)(N-3) =0

- Si a ou b est nul; ou a est l' opposé de b alors pour tout N ,
(1; 0; -1) est une solution fondamentale.

- pour N=3 la solution fondamentale est :
                 (a, b, N) = ( m; n; 3)      
avec m et n entiers premiers entre eux.

   Cas 3: (a,b,c) = (a , b , a-b); a et b des entiers
    a³ + b³ + (a-b)³ = Nab(a-b)
2a² - ab.(N-3) + (N+3).b² =0

- a et b existent si N {-4 ; -3; 5; 6}

-  les solutions fondamentales associées sont:
(a,b,N) = (0; 1;-3), (2 ; 1; 5), (3; 1; 6),
                    (-1; 1; -4).

   Cas 4:
    a³ + b³ + c³ = Nabc

- N , le triplet (0, 1, -1) est une solution fondamentale si l'une des inconnues pouvait être nulle.

- a=b dans les cas où N { -1; 3; 5}. De plus pour N=3, a=b=c.

- Si N = - m² , m un entier, les triplets fondamentaux sont (1; -1 ; m) et (1; -1; -m) .


   Cas 5:
    a³ + b³ + c³ = Nabc

- Si N =a, l' equation devient:
b³ + c³ = a² (bc -a)
Mais la construction des solutions n' est pas évidente

- Si N = ab, avec a= -b , (1; -1; m) sont des solutions fondamentales ;

avec a et b premier on a les triplets

(a,b,c) = ([nc² +3n]/2; 1; c) ,  ([(n-2)c² - n]/2; 1; c) , avec n et c choisis pour que a soit entier et que
c | a² + b² - ab

- Si N =ab ,     On a 2 solutions fondamentales  :

(a,b,c) = (a ; b; a²b² - [a³+b³]/(a+b) ) ,
                  (a ; b; a²b² - [a³+b³]/(a+b) ).
Avec a et b des entiers, = (a+b)/c²
et = (a² + b² -ab) /c²

On remarque que si a=b=1, c= -1; a=1,  
   b=2 , c =-1;

Prochainement on va s' attaquer à la solution générale.

RÉSOLUTION DE L 'ÉQUATION
x/y +y/ z +z/x =  N;  x,y, z *  et N    
            
II-   Solutions (a, b, c et N ) de cas
                  particuliers de l' équation :
      a³ + b³ + c³ = Nabc  

Pour le cas N= a (ou b ou c)  on a:

    b³+ c³= a² (bc -a)
(b+c)(b² + c²-bc) = a² (bc -a)

et avec a² = b+c alors

b² + c²-bc = bc -a (b-c) ²= -a ;
ce qui n' est possible que si a0

En combinant les deux conditions on a :

(b-c) ⁴= b+c
ce qui permet de construire avec
b-c = :

a= -²
b =( ⁴ + ) / 2
c =( ⁴ -) / 2
est un entier naturel (ce qui est la même si c' était juste un entier)

Il y a d' autres pistes de solutions mais cela demandent trop de considérations.

À présent abordons le cas de l' étude générale de l' équation.

III-   Solutions (a, b, c et N )
            générale  de l' équation :
      a³ + b³ + c³ = Nabc  

Nous savons que :
a³ + b³ + c³ = Nabc

(a+b+c)(a ²+ b² + c² -ab-ac-bc) = (N-3) abc

Et notre lecteur doit avoir à l' esprit l' égalité :

a ²+ b² + c² -ab-ac-bc =
(a+b+c) ² -3 (ab+bc+ac)  =
[(a-b)² + (a-c)² +(c-b)² ] / 2

Pour résoudre l' équation il faut vérifier les cas suivants:

* conditions de N pour lesquelles a,b et sont tous impairs

* abc| a+b+c
*bc| a+b+c
*a| a+b+c pour a paire
* a+b+c|  N-3

* si a,b et c sont impairs, les conditions pour obtenir le triplet (a| a+b+c)
* si a est paire, b et c impairs, b| a+b+c et
c| a ²+ b² + c² -ab-ac-bc

Pour faire la résolution, nous organiserons cette parties et 4 sous parties:

A- résolution des 4 cas après les conditions des triplets impairs
B et C)  Résolutions des cas où a,b et c sont soit tous impairs, soit a est la seule inconnue paire
D- Synthèse des resolutions.

Mais avant d' aborder tous ces cas, nous allons traiter les cas où N=3 et les conditions sur N pour que a,b et c soient tous impairs ou une inconnue soit paire.

-- pour N=3, on a:
1/2 .(a+b+c)[(a-b)² + (a-c)² + (c-b)² ]  = 0

a=-b-c         ou   a=b=c d' où

(a,b,c) = (a, b, -a-b); (1,1,1) ;  où a et b des entiers premiers entre eux.

Dorénavant on considère que a-b-c

   Parité de a,b et c :

on sait qu' on ne peut avoir qu' une seule valeur paire car les 3 inconnus sont 2 à deux premiers entre eux.

Pour N pair, a,b et c ne peuvent être impaires en même temps (car un membre  de l' équation est impair et l' autre est paire dans le cas de solutions fondamentales).

Pour N=4k+1, on vérifie de même que les trois inconnus ne peuvent être impairs.

Pour N=4k +3, il est possible d' avoir  les trois inconnus impairs.

Ainsi, les trois inconnues sont tous impairs si N=4k+3, k un entier; pour avoir une des inconnues paire, tout entier N est admissible, même les N / N= 4k+3.

A- résolution des cas où   abc| a+b+c;
bc| a+b+c; a| a+b+c pour a paire ;
         a+b+c|  N-3

1)    Cas où abc  | a+b+c :

Soit k/  kabc = a+b+c
    (kab -1).c = a+b kab -1 = (a+b) /c
Et avec c = max (a,b,c) ,  c non nul on a :
-2 kab-1 2
k.ab {-1, 1, 2,3}

Et après résolution on a :

(a,b,c) = (1,1,1); (1,1,2); (1,2,3); (1,-1,) ;

Dans ces cas N {3; 5; 6; -²}



2)    Cas où bc | a+b+c :

Soit k/  kbc = a+b+c
et posons , l et l' /
l = l' ²;= b+c

On a alors:
kbc = +a
bc = (a+)/k = l  si k non nul.
b et c sont solutions de l' équation
X² - X +l =0
Son discriminat est:
= ² - 4l
Pour que soit carré, on distingue 2 cas:

- si l n' est pas un carré
est un carré ssi
= l+1 et ainsi
= (l - 1)².

Alors b=l ; c=1 et a=(k-1)l -1

- si l est un carré/  l=l' ²

= ² - (2l' )²  
est un carré ssi
l' = t et = l' ²+1 et = (l - 1)²

   ou = t²+1 et t= (2l' +1) et = t²
                      

b=l ; c=1 et a=(k-1)l -1          [1]
ou
a= k.l' ²- 2l' -2 ; b = l' +1-(2l' +1); c= l' +1-(2l' +1)           [2]

Avec 2l' +1 qui doit être un carré, l=l' ² et l'  paire et positif de la forme
l' = (e² -1)/2 ,
                                    e un entier naturel impair

-- Pour le cas [1] N existe ssi k et l sont /

k [ k².l² - 3l - 3l (kl-l-1)-3(kl-l-1)] = (N-3) (kl-l-1)
-3k (l+1) + k.l.(k². l -3)/(kl-l-1) = N-3
-3k (l+1) + k.l.[k+1 + (l+k-2)/(kl-l-1)] = N-3

N existe enfin si k.l. (l+k-2)/(kl-l-1) est un entier; l un entier et k un entier non nul.

-- Pour [2], de même N existe si

-3k (b+c) + k[(k.bc)[/sup]2[/sup] - 3bc]/a = N-3      
-3k (b+c) + k[(k².l'⁴] - 3.l' ²)/ (k.l' ² -2.l' -2) =N- 3

-3k (b+c) + (k ².l' ² -3). k.l'²/ ( k.l' ² -2.l' -2) =N- 3  


-3k (b+c) + (k ².l' ² -3). k.(k + ( 2kl' +2k -3)/ ( k.l' ² -2.l' -2) =N- 3  

N existe ssi ( k.l' ² -2.l' -2)  divise
k.  (k ².l' ² -3) . (2kl' +2k -3)

3)    Cas où a+b+c | N-3

Dans ce cas
abc | (a+b+c)² - 3(ab+ac+bc)

Si a ne peut être pair  car
(a+b+c)² - 3(ab+ac+bc) serait impair et a+b+c est paire.
Dans le cas où a,b et c sont impairs c- à- d N-3 = 4k' , k' un entier, soit j un diviseur impair de N-3 / j= a+b +c

On a alors:
j ( j² -3ab -3ac-3bc) = (N-3) abc                    
    a, b ou c divise le membre gauche si
a | j² - 3bc
b | j² - 3ac
c | j² - 3ab

En posant le système:
     - j² - 3bc = a.k₁
     - j² - 3ac = b.k₂
     - j² - 3ab = c.k₃
  Et après une longue résolution on aboutit au triplet
(a,b,c)  = (. , 1, )

Ainsi on a :
(.)³ + ³ + 1 = N.^2
2 (N. - ³ - ) = 1

Ainsi = 1
Et après résolution complète on obtient les valeurs suivantes pour a,b,c et N:

(a,b,c; N) = (1,1,1;3) (2,1,1;5) (m, 1, -1; -m²)  ; m un entier naturel.

4)    Cas où a| a+b+c avec a pair

On a:
(a+b+c)(a ²+ b² + c² -ab-ac-bc) = (N-3) abc

Soit et l/ N-3 = 2. l
où l est un entier impair; comme a est paire, alors (a ²+ b² + c² -ab-ac-bc) est impair et a+b+c est pair. Soit /

2.a. = a+b+c

est impair puisque à part N +3 et a, il n' y plus de d' expression paire dans l' équation.

b+c = (2. - 1).a
a = (b+c)/ (2. - 1)
Et en remplaçant dans l' équation on a:

[ ((b+c).(2/(2 -1))² - 3. (b+c)²/(2 -1) - 3bc] = lbc

Et après développement et simplification on a:

[((b²+2bc+c²).(2².² - 3.2. +3)/ (2 -1) ² -3bc] = l.b.c

Si b et/ ou c divise , cela rejoint les cas 1) et 2). Dans le cas où ce n' est pas , c divise l' expression dans le crochet si

c | b². (2².² - 3.2. +3)/ (2 -1) ²

or pgcd (b,c) =1 d'où

c | 1- ( 2. -2)/(2 -1) ²

Or pgcd (2. -2);
2. -1)= 1

car c'est des nombres consécutifs.  Donc la fraction est un entier si

2. -1 = 1   2. = 0  ou
2. = 2

2. = 0
=0 donc a=-b-c et N=3

2. = 2     a= b+c

Si 2. =1 a+b+c = a donc b=-c

Après étude du cas a=b+c, on obtient les solutions a,b,c et N:

(a,b,c;N) = (-b-c, b,c; 3) (a,1,-1;-a²) (0,1,-1; -3) (2,1,1;5) (1,-1,2;-4)   (1,2,3;6);   a un entier.

Ceci termine la première sous partie.

RÉSOLUTION DE L 'ÉQUATION
x/y +y/ z +z/x =  N;  x,y, z   *  et N


III- Solutions (a, b, c et N )
       générale  de l' équation :
      a³ + b³ + c³ = Nabc    

Pour les deux sous parties suivantes, la méthode est d'écrire a en fonction de b et c afin d' aboutir à une équation du second degré avec b. b ne pourra être déterminé que si le discriminant de l' équation est un carré.

B- Résolution du cas où   a,b et sont
                       tous impairs avec b| a+b+c;
                       c| a+b+c; a| a+b+c  

Dans ce cas N est impair et de la forme 4k+3 , k un entier non nul. Soit m tel que:

                            a+b+c = b.m

comme a+b+c et b sont impairs alors m est impair. On peut alors déterminer l' équation d'inconnue b.

1) Équation du second degré en b
On a :
a+b+c = b.m a=(m-1).b -c, et ainsi

(a+b+c)[(a + b + c)²-3(ab-ac-bc)] = (N-3) abc
b.m [ (b.m)² - 3(b+c)((m-1).b -c) -3bc] = (N-3) abc

m [ (m² - 3m +3) b² - 3(m-1) bc + 3 c²] = (N-3).c.((m-1).b -c)

c divise l' élément en crochet ssi

c |  (m² - 3m +3) b²

      Or pgcd (b,c) =1 donc

   c |m² - 3m +3  

Soit j un entier / c.j =m² - 3m +3, j aussi est impair car m² - 3m +3 est impair.

Notre équation devient après division par c et après simplification:

m.j. b² - (m-1)(N-3+3m).b + (N-3+3m).c = 0

Le discriminant par rapport à b s'écrit:

_b = ((m-1)(N-3+3m))² - 4m.j.c(N-3+3m)
Or   c.j =m² - 3m +3 d' où

_b = ((m-1)(N-3+3m))² - 4m(N-3+3m)(m² - 3m +3)

_b = (N-3+3m)( - m³ + (N+3).m ² - (2N+3).m + N-3)

b existe si
_b est un carré, donc cela revient à chercher son signe ; surtout sur le facteur de degré 3.
Soit  f (m) la fonction à étudier sur afin de trouver ces propriétés sur :

f (m) =  - m³ + (N+3).m ² - (2N+3).m + N-3


2) Signe de f (m)
Supposons dans cette sous partie que m est un réel    

f (m) =  - m³ + (N+3).m ² - (2N+3).m + N-3

Pour les limites on a:
-si m tend vers -, f(m) tend vers +
- si m tend vers +, f(m) tend vers -

f est dérivable et sa fonction dérivée est:

f' (m)  = -3. m² - 2.(N+3).m -2N -3.
f' (m)  = -3.(m-1)(m- m₁),
              avec m₁= (2N+3)/3

f (1) = -4    
f (m₁)= (N-3)(4N² + 12.N + 36)/27

On obtient les  variations suivantes  avec N=4k+3:

- pour N <0,
m₁<0 et f (m₁) < -4

*si m<m₁, f est décroissante de + à
         f (m₁)< -4
*si m₁<m< 1, f est croissante de f (m₁) à - 4.
* si m>1, f est décroissante de - 4
à  - .

De plus, f atteint une valeur nulle en un seul point d' abscisse T₁<0.

- pour N >3,
m₁>1 et f (m₁) >0> -4

*si m<m₁, f est décroissante de + à -4
*si m₁>m> 1, f est croissante de -4    
à  f (m₁)>0  .
* si m>m₁, f est décroissante de
f (m_q) > 0   à  - .

De plus, f atteint une valeur nulle en trois points  d' abscisse T₁, T'  et T₂ tels que:

          T₁<1<T' <m₁<T₂

- Le cas N=3 a été déjà étudié au début.

3) Signe de <sub>b

b</sub>= (3m +N-3). f(m)

La limite du discriminant aux bornes infinies (+ et - ) est -. De là on déduit que _b est positif sur un ensemble fermé à definir.

De l'étude de f (m)  on déduit:

- Si N <0 on a le  signe de _b:
avec (3-N)/3> 0 > T₁

*si m ]-; T₁[ U ](3-N)/3; +[, le discrminant est négatif.
* si m [T₁; (3-N)/3] , _b>0 donc c'est dans cet intervalle qu' il faut chercher le bon m entier impair pour que le discriminant soit un carré.

- Si N > 0 on a le  signe de _b:

avec (3-N)/3< 0< T₁< T' <T₂

* si m ]-;(3-N)/3[ U ]T₁; T'[ U ]T₂; + [, le discriminant est négatif.
* si m [(3-N)/3; T₁] U [T' ;T₂], _b est positif et c'est dans ces intervalles qu' il faut rechercher la bonne valeur de m impair afin que le discriminant soit un carré.

On a aussi:
_b = (N-3+3m)( - m³ + (N+3).m ² - (2N+3).m + N-3)

On remarque que (N-3+3m) est impair car m est impair alors que ( - m³ + (N+3).m ² - (2N+3).m + N-3) est pair et divisible par 4 si m est impair.

Ainsi le discriminant est un carré ssi:
* 3m +N-3 divise f (m)  et que ce rapport est le carré d' un nombre pair
* Ou 3m +N-3 et f (m)  sont tous des carrés pour un m impair déterminé

a)  Si f(m) = k². (3m +N-3)

On a alors:
- m³ + (N+3).m ² - (2N+3).m + N-3 = k² (3m +N-3)
N = [m ³- 3m² + 3m.(k²+1) -3(k ²-1)]/ (m² - 2m -k² +1)
N = m-1 + (4m k² - 4k ² +4 )/(m² - 2m -k² +1)

N est impair que si l' expression en fraction est un nombre entier impair. Soit p un entier impair tel que:

p =   (4m k² - 4k ² +4 )/(m² - 2m -k² +1)
p.m² - 2m(2k²+p) - (p-4)(k²-1)=0

Et son discriminant réduit est:

'= (2k²+p) ²- p (p-4)(k²-1)

k étant pair et p impair, alors p(p-4)(k²-1) n' est pas nul. On a alors

'= (2k²+p) ²-(p²-4p)(k²-1)

On sait aussi que :
(2k²-p) ² - (2k²-p ²+5p) ² = (p²-4p) (4k² -p ² +6p)

Donc ' est un carré à condition qu' il existe des entiers p'  et k' /
4k' ²-p' ² +6p'  = k' ² -1

10 = (p'-3)² - 3k' ²
Or le membre de droite est la différence de 2 carrés pairs dont sont divisibles par 4 ce qui n' est pas le cas de 10 d' ou k'  et p' n' existe pas. Ceci prouve qu' à aucun moment,_b ne peut être un carré si l' un des facteurs divise l' autre. .

b)  Si f(m)  et (3m +N-3) sont des carrés concomitamment
Dans ce cas on détermine dans les ensembles ou _b est positif, les m impairs de la forme:

m = (s² - N+3)/3 et on vérifie si pour ce m déterminé, f (m)  aussi est un carré; si c'est pas le cas on passe à un autre, si c'est le cas on continue la résolution.


4)Détermination des solutions

Connaissant un m impair tel que _b = e², e un entier, on resoud le système:

- c.j = m²- 3m +3
- b =[ (m-1)(N-3+3m) e]/ (2.m.j)
- a= (m-1).b - c

avec b et c impairs et non nuls , m et j impairs et non nuls.