Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 3 +


Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 03-09-18 à 20:10

RÉSOLUTION DE L 'ÉQUATION
x/y +y/ z +z/x =  N;  x,y, z   *  et N


Dans la partie précédente veuillez lire:

B- Résolution du cas où   a,b et sont
                  tous impairs avec b| a+b+c;
                 c| a2+b2 + c2-ab- ac- bc



III-      Solutions (a, b, c et N )
         générale  de l' équation :
         a3 + b3 + c3 = Nabc


Pour les deux sous parties suivantes, la méthode est d'écrire a en fonction de b et c afin d' aboutir à une équation du second degré avec b. b ne pourra être déterminé que si le discriminant de l' équation est un carré.

C- Résolution du cas où   a est pair,b.
    et c sont impairs avec b| a+b+c;  
   c| a2+b2 + c2-ab- ac- bc  


Soient n et s/  a= 2n.s ,   avec s le plus grand nombre impair qui divise a

Et soient l et q / N-3 = 2q. l,  l est le plus grand entier impair qui divise N-3; ainsi on a:
- Si N est pair, alors q = 0
- Si N est de la forme 4k+1 alors q = 1
- Et si N est de la forme 4k-1 alors
         q 2.

Comme a est pair, b et c impair alors a2+b2 + c2-ab- ac- bc est impair donc toutes les puissances de 2 de l' expression
(N- 3).abc = 2n+q.b.c.s divise a+b+c. De plus par hypothèse b | a +b +c. Soit m un entier tel que:

a+b+c = 2n+q.b.m ,
m aussi est impair car b et c sont impairs.
On peut alors déterminer l' équation d'inconnue b.

1) Équation du second degré en b  

On a :
a+b+c = 2n+q.b.m     d' où
a= (2n+q. m -1).b -c

Et en remplaçant a par sa dernière expression on a:

(a+b+c) [a2+b2 + c2-ab- ac- bc ]

(a+b+c)[(a + b + c)2-3ab-3ac-3bc)] = (N-3) abc  

2n+q.b.m [(2n+q.b.m)2 -3b((2n+q.m - 1) - c) - 3c((2n+q.m - 1) - c) - 3bc]
= 2q.l.abc  

2n.m[(22n+2q.m2 - 3.2n+q.m +3).b2 - 3(2n+q.m- 1).bc + 3c2] = a.c.l (I)

c divise l' expression en crochet ssi

c| 22n+2q.m2 - 3.2n+q.m +3
car pgcd (b,c) =1

Soit j/ c.j = 22n+2q.m2 - 3.2n+q.m +3 ; comme a est paire donc n>0, alors j aussi est impair.

Avec c non nul, (I) devient:

2n.m [j.b2 - 3(2n+q.m - 1).b +3c]
= l.((2n+q.m - 1).b -c)

2n.m.j.b2 - (2n+q.m - 1)(3.2n.m + l) .b +3.2n.m + l =0  
qui est l' équation recherchée. Le discriminant en b s' écrit:

b = (2n+q.m - 1)2(3.2n.m + l)2 - 4.2n.m.j.c(3.2n.m +l)  

en se rappelant que
c.j = 22n+2q.m2 - 3.2n+q.m +3 et après factorisation et simplification on obtient:

    
b = (3.2n.m + l)[ - 23n +2q.m3 + 22n+q.(2q.l + 6).m2 - 2n.(2q+1.l + 9).m + l]
  


Nous rappelons que m, l sont des entiers impairs, n un entier naturel non nul, q un entier naturel.
L' existence de b dépend du signe du discriminant, et comme celui du facteur en parenthèse est évident, il faut étudier celui du facteur en crochet. Posons:

fn(m) =  - 23n +2q.m3 + 22n+q.(2q.l + 6).m2 - 2n.(2q+1.l + 9).m + l


2) Étude de fn  

fn(m) =  - 23n +2q.m3 + 22n+q.(2q.l + 6).m2 - 2n.(2q+1.l + 9).m + l

La limite de fn en + est -.    
La limite de fn en - est + .
f n est dérivable et sa dérivée est:

fn' (m) = - 2n[3.22n+2q.m2 - 2n+q+1.(2q.l + 6).m + 2q+1.l + 9]

fn' = - 2n.(m-m1)(m-m2)

m1 et 2 = [2q.l + 6 (2q.l + 3] /(3.2n+q)      soit

m1= (2q+1.l +9) / (3.2n+q)
m2= 1 / (2n+q)

On obtient les sens de variations suivants en fonction de la position relative de m1 et m2.

* si m1 = m2 soit l= -3 donc N=0 car q= 0. Ce cas a déjà été étudié dans les cas particuliers en  A).

* si m1 > m2 , soit l> - 3 / 2q et l impair c- a- d N>0 N non nul alors:
    
-- fn est décroissante sur - à m2
-- fn est croissante sur m2 à m1
-- fn est décroissante de m1 à +

* si m1 < m2 , soit l< - 3 / 2q et l impair c- a- d N<0 , N non nul alors:
    
-- fn est décroissante sur - à m1
-- fn est croissante sur m1 à m2
-- fn est décroissante de m2 à +

À présent on peut déterminer les conditions pour lesquelles le discriminant est un carré d' entier.


3) Signe de b  

La limite du discriminant en - et + est- : on deduit que les m impairs à même de fournir un discriminant carré se trouve dans un ou des intervalles fermés formés par les racines réels de

b(m) = 0.

Le discriminant est un carré dans les 4 cas suivants:

a)  fn(m) = k2. (3.2n.m + l)

comme n>0, alors fn(m)  et 3.2n.m + l sont impairs alors k aussi est impair.

fn(m) = k2. (3.2n.m + l)

- 23n +2q.m3 + 22n+q.(2q.l + 6).m2 - 2n.(2q+1.l + 9).m + l = k2. (3.2n.m + l)    

l.(22n+2q.m2 - 2n+q+1.m -k2 +1)= 23n+2q.m3 - 6.22n+q.m2+ 2n.9.m + 3.2n.k2.m

l = m.[2n - (22n+q+2.m -
2n+2.k2 + 2n+3) /(22n+2q.m2 - 2n+q+1.m - k2 +1)]

l est un entier impair si la fraction en crochet est entière et impair et on a avec
k2 judicieusement choisi et des résolutions paramétriques complexes  :
- si q=0, n=1 l est paire ce qui n' est pas convenable
- si q=0 et n>1, l n' est pas entier ce qui ne convient pas non plus
- si q> 1, n >2, l est toujours une fraction

Ainsi dans ce cas le discriminant ne peut être un carré.

b)   k2.fn(m) = 3.2n.m + l

Ici l' expression de l s' écrit:


l = m.[2n -
(22n+q+2.k2.m - 2n.(2q+1.9k2
- k2 + 2)) /
(22n+2q.k2.m2 - 2n+q+1.k2.m - k2 - 1)]

En faisant le même raisonnement, on démontre que l ne peut être un entier impair qq soient n, m et q.


c)   fn(m) = k. u2
;  3.2n.m + l= k.u' 2; k,u et u' sont des entiers impairs.

La division de 3.2n.m + l par fn(m) donne:

- 22n+2q.m2 /3 +
2n+q.(2q + 2.l + 18).m / 9 - (2q+1.9l + 9.2q+1 + 81) / 27  

   et le reste de la division est:
l.(9.2q+1 + 9.2q+1.l + 22n+2q.l2 +108) / 27

Tous ces résultats sont entiers si m et l sont divisibles par 3. Considérons m' et l' tels que:
             m = 3.m'        et             l = 3.l'
Et dans ce cas le reste de la division et 3.2n.m + l. ont pour pgcd un entier puissance de 3. Le reste de la division après simplification donne en effet:
l' (22q+2.l' 2 + 3.2q+1.l' + 2q+1) 0 ou 2 [3], ce qui montre que cette expression en dehors de k n' est pas un carré, et ainsi b ne peut être un carré.

d)   fn(m)  et  3.2n.m + l sont premiers entre eux et sont concomitamment des carrés parfaits.

Dans ce cas on choisit les m" impairs appartenant à l' ensemble sur lequel b est positif afin que:
3.2n.m" + l = e2, e un entier.
Dans ce cas m"  = (e2-l) /3/2n.

Mais avant de déterminer les m" , on détermine la valeur de n en choisissant un n minimal pour que l' intervalle de vérification ne contiennent pas de nombres impairs. Ensuite le verification se fait de manière décroissante sur n jusqu'à atteindre n=1.

4) Détermination de a,b et c  

Connaissant le m"  pour lequel b est un carré, on calcule a, b et c en resolvant le système:

b =[ (2n+q.m"  -1)(3.2n.m" + l) K] / 2n+1 / m" / j
j.c= 22n+2q.m" 2 - 3.2n+q.m"  + 3
a= (2n+q.m"  - 1).b -c
j,l,m", b, c et e entiers impairs
N-3 = 2q.l   ; b = K 2

Exemple: pour le cas N =17, l=7, q=1
Le critère d' arrêt fournit n =5 mais on ne trouve m"  que lorsque n=1 et m" = 3 donc:
j.c = 111= 3x37
b= (5*19)2

  b= 370/12/j ou 180/12/j       et b ne peut être entier que si j=3 d' où

b=5 et c= 37 et enfin a=18.

NB:  Plus n devient grand, plus il devient rare de trouver des triplets fondamentaux solutions.

Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 04-09-18 à 01:19

RÉSOLUTION DE L 'ÉQUATION
x/y +y/ z +z/x =  N;  x,y, z *  et N       



III-      Solutions (a, b, c et N )
         générale  de l' équation :
         a3 + b3 + c3 = Nabc

Pour les deux sous parties suivantes, la méthode est d'écrire a en fonction de b et c afin d' aboutir à une équation du second degré avec b. b ne pourra être déterminé que si le discriminant de l' équation est un carré.

C-  SYNTHÈSE

L' équation générale à résoudre est:

  X / Y + Y / Z + Z / X = N; X, Y , Z et N des entiers non nuls.
L' équation est homogène et cyclique donc on peut rechercher que les solutions fondamentales.
Nous avons démontré aussi que

        X / Y + Y / Z + Z / X = N
a, b etc des entiers 2 à 2 premiers entre eux tels que

a3 + b3 + c3 = N.abc
et dans ce cas on obtient les triplets fondamentaux:

(X,Y,Z) = (a2.b; b2.c; c2.a) , (a2.c; c2.b;  b2.a)

Donc pour trouver X, Y,Z, il suffit de résoudre:

a3 + b3 + c3 = N.abc
(a+b+c)((a+b+c) 2 -3ac -3ab -3bc )= (N- 3).abc (I)

Si N =3   (I) donne:

0,5 * (a+b+c)[(a-b) 2 + (b ᤾-c) 2 + (c-a)2] = 0

d' où (X,Y,Z) = (1,1,1); (a,b, -a- b)
                                     avec  pgcd (a,b) =1

Si N est différent de 3 et non nul, on distingue 3 gros cas en notant:

(a+b+c)((a+b+c) 2 -3ac -3ab -3bc )= (N- 3).abc

1) QUELQUES CAS PARTICULIERS

--> Si abc | a+b+c il n' y de solutions ssi
        N (3,5,6, -s2), s un entier

--> Si bc|a+b+c, il existe une infinité de N.

--> Si a+b+c | N-3 , N (3,5,6, -s2), s un entier

--> Si a|a+b+c, N (3, -s2), s un entier

2) Cas où a est paire, b et c sont impairs
Si a = 2n.s ; N-3= 2q.l
s et l des entiers impairs, n>0, q entier naturel. Si b| a+b+c et que c | a2 + b2 + c2 - ab-bc-ac alors il existe un entier impair m tel que:

a+b+c = 2n+q.b.m a= (2n+q.m - 1).b -c
Et remplaçant a par cette l' 'expression:

(a+b+c)((a+b+c) 2 -3ac -3ab -3bc )= (N- 3).abc

On démontre qu' il existe j, un entier impair j tel que:

c.j = 22n+2q.m2 - 3.2n+q.m + 3
ce qui permet d' aboutir à l' équation du second degré d' inconnue b:

2n.m.j.b2 -(2n+q.m - 1)(3.2n.m + l).m + (3.2n.m +l).c = 0

Le discriminant de l' équation est:

b= (3.2n.m +l)[- 23n+2q.m3 + 22n+q.(2q.l + 6).m2 - 2n(2q+1.l +9).m +l]

Ce discriminant n' est un carré que si chacun de ses facteurs sont des carrés parfaits pour des valeurs limitées de n et m; ce qui permet de déterminer a,b et c:

c.j = 22n+2q.m2 - 3.2n+q.m + 3
b = [(2n+q.m - 1)(3.2n.m+ l) b] / 2n+1/m/ j
a= (2n+q.m - 1).b -c

avec N-3 = 2q.l ; a= 2n.s

3) Cas où a , b et c sont tous impairs
Soit m tel que
a+b+c = b.m a =(m-1).b - c
et en retournant dans cette équation on démontre qu' il existe j impair tel que:

m.j = m2 - 3m + 3
Et on obtient l' équation du second degré d' inconnue b:

m.j.b2 - (m-1)(N-3+3m).b + ᤾(N-3+3m).c = 0

Et son discriminant est :
b = (3m + N-3)[ -m3 + (N+3).m2 - (2N +3).m + N-3]

Ce discriminant est carré pour un nombre fini de m et dans ce cas tous les facteurs de b sont concomitamment des carrés parfaits et connaissant un tel m on détermine les solutions:

c.j = m2 - 3m + 3
b = [(m-1)(N-3+3m) b] / 2 / m / j
a= (m - 1).b - c.

Ceci termine la résolution de l' équation.

Posté par
alb12
re : Équation à trois inconnues 04-09-18 à 15:35

voilà un digest particulierement indigeste ...

Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 04-09-18 à 15:52

Petit alb12, ici c'e n' est pas un sujet pour lycéens, il faut avoir un niveau olympiade voire multi-supérieur pour cerner bcp de notions utilisées ici.

Posté par
lafol Moderateur
re : Équation à trois inconnues 04-09-18 à 21:52

et un prétentieux de plus, un !
on te dit que tes pavés sont indigestes, tu peux nous croire, non ?
Comme disait l'autre : ce qui se conçoit bien s'énonce clairement.

Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 05-09-18 à 00:03

Lafol, ce n'est pas de la prétention, le sujet est complexe et c'est pour cela que je suis passé de l' arithmétique à l' algèbre, à une étude de fonction avant de revenir à l' arithmétique: cela ne dépend pas de moi mais de la complexité du défi mathématique.

Pour se rendre compte de la véracité du travail, il suffit de remplacer N et de mener la procédure jusqu'au bout. Pour N=17 , je l' ai fait, vous pourrez essayer avec d' autres valeurs de N afin de vérifier la véracité des formules.

Posté par
lafol Moderateur
re : Équation à trois inconnues 05-09-18 à 21:44

c'est pas de la prétention, que de traiter un professeur de "petit" ?

Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 05-09-18 à 22:01

Lafol, faut pas prendre petit au premier degré, car derrière nos claviers peuvent se trouver de grands ingénieurs en mal de math pure et dure.

J' ai fait la terminale S et j'ai vu avec quelle délectation les profs de math s' amusaient à nous combiner des notions puissance, exponentielle et logarithmique dans une même fonction à étudier tu imagines qu' on ne connaissait même pas la règle de l'HOSPITAL. Et on me dit qu' un prof ne peut pas lire et cerner mon raisonnement sur un polynôme?

Je croyais être constructif mais apparemment ce n' est pas le cas. Normalement le minimum aurait été de vérifier les differentes formules, surtout pour les cas ou a est paire ou impaire.

Posté par
alb12
re : Équation à trois inconnues 05-09-18 à 22:08

c'est bien de mettre de l'art dans sa vie,
mais c'est mieux de mettre de la vie dans son art ...

Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 19-11-18 à 20:27

Bonsoir je lisait un article hier ERIK DUFF qui disait qu' on peut générer d' autres solutions à partir d' une solution connue.

Ainsi à partir d' un quadruplet (x,y,z,n) solution on peut générer un autre quadruplet (x' ,y' ,z' ,n'). Il a distingué plusieurs cas mais je présente ici 2 cas:

1) Cas où x|y+z
Lorsque (x,y,z) (1,-1, M); (M,1, -M3 +M-1) , M esu un entier, on génère le quadruplet suivant:

x'  = [y2 + (x 3 + y 3)/z ]/x
y' = y
z' = z (x' 3 + y' 3)/(x3 + y3)
n' = [z' 2 + (x' 3 + y' 3)/z ]/x' /y'

Application 1:
Notons "=><= "  par "générer ". On a :

a) (1,5,9,19)==><==
            (39,5,4246,92454)  ou (3,1,2,6)

b) (5,18,37,17)=><=
(97,18,5705,18641)
  ou (838, 37, 208 625, 1 403 741)

2) Cas où x|y2- yz -z2
Pour tout quadruplet (x,y,z,n) on a :

x'  = [y2 - yz - z2]/x
y' = y
z' = z
n' = [ n (y+z) - 3x' ]/x

Application 2:
Notons "=><= "  par "générer ". On a :

c) (1,5,9,19)==><== (61,5,9,83)          
                                            
d) (5,18,37,17)=><= (7,5,18,10).

1 2 3 +


Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !