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Niveau algorithmique
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Équation à trois inconnues

Posté par
Zglorg13
24-02-18 à 07:17

Bonjour

Je n arrive pas à résoudre

(x/y)+(y/z)+(z/y)=17

Avec x y et z entiers

Je ne vois pas du tout. La démonstration n est pas demandée seule la solution m enchanteront

Merci

Posté par
fm_31
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 09:18

Bonjour ,

as-tu essayé de réduire au même dénominateur ?
Puis d'exprimer  x = ...

Cordialement

Posté par
Zglorg13
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 09:20

salut

oui.

ma femme est prof de math et elle a pas réussi

Posté par
patrice rabiller
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 09:25

Bonjour,

"ma femme est prof de math et elle a pas réussi"

C'est pas bien de dénoncer comme ça

Si aucune démonstration n'est demandée, il faut faire tourner un algorithme en prenant tous les entiers x,y,z compris, par exemple, entre 0 et 1000 ...

Posté par
Zglorg13
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 09:27

oui

mais ca je sais pas le faire

Posté par
malou Webmaster
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 09:40

puisqu'il ne faut qu'une solution,la méthode de fm_31 fonctionne bien, et vite....

Posté par
fm_31
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 09:42

Tu peux après avoir exprimé  x= ...    utiliser un tableur pour avoir une première vision des solutions car il se peut qu'il y ait plusieurs solutions .
Puis écrire l'algorithme pas très compliqué .

Posté par
Zglorg13
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 09:51

oui oui...

mais si je demande c'est que j'y arrive pas, je suis désolé je suis pas bon...

Posté par
patrice rabiller
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 10:02

Pour ma part, en faisant tourner "brutalement" un algorithme, j'ai trouvé plusieurs réponses, par exemple
(x, y, z)=(15; 16; 1)
(x, y, z)=(30; 2 ;2)
(x, y, z)=(41; 3318; 196)
(x, y, z)=(89; 147; 2401)

et il semble qu'il y en ait bien d'autres ...

Posté par
Zglorg13
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 10:15

wow...

merci ...
je vais en prendre quelques uns et enerver ma femme

MERCI MERCI

Posté par
Zglorg13
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 10:19

en fait ca marche pas
(x, y, z)=(15; 16; 1)
ca me donne 17,0041
(x, y, z)=(30; 2 ;2) ca donne 16.06666
(x, y, z)=(41; 3318; 196) ca donne 21.71..
(x, y, z)=(89; 147; 2401)   ca donne 27.644... (

Posté par
malou Webmaster
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 10:40

à la main, au "pif"....(29,2,1)
c'est ça la chance !

Posté par
fm_31
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 11:26

La plus simple de toutes les réponses est   x=15 , y=1 , z=1

Équation à trois inconnues

Posté par
fm_31
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 11:50

En conclusion    x = 17 y - y²/z - z
Pour que x soit entier , il suffit que  ....

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 11:55

salut

est-ce au mois le bon énoncé ?

Posté par
Zglorg13
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 11:59

je pense pas si je rempalce X y et Z par 15, 1 et 1

ca me fait (15/1) + (1/1)+ (1/15) et ca fait pas 17

Posté par
Zglorg13
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 12:00

la derniere opération c'est Z/X

et pas Z/Y

ca change tout , c'est pour ca que je trouve pas

(X/Y)+(Y/Z)+(Z/X)=17

Posté par
fm_31
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 12:03

Citation :
ca me fait ...
  pas avec l'énoncé donné .
carpediem aurait donc eu la bonne intuition .
Mais alors quel est le bon énoncé ?

Posté par
fm_31
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 12:04

Avec ce nouvel énoncé , que donne la réduction au même dénominateur ?

Posté par
Zglorg13
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 12:22

ben je sais pas le faire... c'est justement car mes connaissances sont limitées que je m'adresse à vous

l'énoncé c'est

x/y + y/z + z/X=17

avec x, y  , z entiers positifs

Posté par
patrice rabiller
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 13:07

Je me suis absenté quelques heures mais je voudrais bien comprendre pourquoi l'exemple (x,y,z)=15;16;1) ne marche pas  :
\frac{x}{y}+\frac y z+\frac zy=\frac{15}{16}+\frac{16}{1}+\frac{1}{16}=17

Qu'est-ce que j'ai raté ?

Posté par
patrice rabiller
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 13:08

Aaaaah ! "La dernière opération est z/x et non pas z/y. J'abandonne !

Posté par
fm_31
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 18:56

le tableur ne donnant plus rien avec le nouvel énoncé , j'ai essayé par programme toutes les combinaisons de 1 à 100 .  Certaines donnent  5 .
J'ai aussi obtenu  10,7  mais aucune ne donne  17

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 19:34

\dfrac x y + \dfrac y z + \dfrac z x = 17

on peut déjà remarquer que si (x, y, z) est solution alors (kx, ky, kz) est solution

donc si on a une solution on en a une infinité ...

on peut donc supposer x, y et z premiers entre eux  en factorisant par le pgcd de x, y et z ...

\dfrac x y + \dfrac y z + \dfrac z x = 17 \iff x^2z + y^2x + z^2y = 17xyz \iff z(x^2 + yz) = xy(17z - y)

à voir ...

Posté par
fm_31
re : Équation à trois inconnues 24-02-18 à 21:06

J'ai poussé mon programme jusqu'à 100010001000  et toujours pas de 17 comme résultat .

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 25-02-18 à 13:39

on peut peut-être raisonner modulo 2 pour voir ce qui se passe

si pgcd (x, y, z) = 1 alors deux sont pairs et l'un est impair ou le contraire ...

à voir ...

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 25-02-18 à 13:40

les trois entiers x, y et z s'écrivent d'ailleurs 2^n(2m + 1) avec n et m entiers naturels ...

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 25-02-18 à 13:56

ou les trois sont impairs ...

Posté par
vham
re : Équation à trois inconnues 28-02-18 à 00:29

Bonne nuit,

Essayez \dfrac x y + \dfrac y z + \dfrac z x = 19, x,y,z entiers
C'est moins frustrant

Posté par
chadok
re : Équation à trois inconnues 10-03-18 à 20:29

Bonjour,

Comme le dit vham, il existe des solutions pour 19 :
(5, 225, 81)
(9, 405, 25)
(10, 450, 162)

Mais comme fm_31, je ne trouve rien jusqu'à (1000, 1000, 1000) pour 17. En poussant un peu le jeu, j'ai (100, 1637, 1591) qui donne 16.999999988, mais rien de plus pour le moment...
Donc ça reste une vraie énigme
Pour ceux qui veulent jouer,mon code en Python :
_______________________
x=0.0
y=0.0
z=0.0
while x < 1000:
    x=x+1
    y=0.0
    z=0.0
    while y < 1000:
        y=y+1
        z=0.0
        while z < 1000:
            z=z+1
            r=(x/y+y/z+z/x)
            if r > 17-1E-7 and r < 17+1E-7:
                print(int(x),int(y),int(z),r)
            
_______________________

Posté par
vham
re : Équation à trois inconnues 24-03-18 à 00:48

Bonne nuit,

Il s'agit bien de \dfrac{ x}{ y }+ \dfrac{ y}{ z} + \dfrac {z }{x} = 17, x,y,z entiers

On peut approcher une solution à 10^{-10} près.  exemple : x = 447, y = 6559, z = 7159

Posté par
vham
re : Équation à trois inconnues 24-03-18 à 18:33

Bonsoir,
voici la plus petite solution exacte en entiers (voir copie de Python)
>>> x=450
>>> y=11988
>>> z=6845

>>> x**2*z+y**2*x+z**2*y
627742629000
>>> 17*x*y*z
627742629000
>>> x/y+y/z+z/x
17.0
>>>

Posté par
vham
re : Équation à trois inconnues 24-03-18 à 18:57

une autre solution 925 24642 1620 et encore 1350 35964 20535
et bien d'autres...
programme en VB.NET :
Choix de x de 1 à 2000 (ou +)
choix de z limité de 1 à 17x
calcul des racines de l'équation en y² si > 0
comparaison de leur partie décimale avec 10 puissance (-7)
puis contrôle avec calcul sur entiers ; x²z+y²x+z²y=17xyz
Temps d'exécution sur  mon PC : 8 secondes pour x de 1 à 2000

Posté par
chadok
re : Équation à trois inconnues 25-03-18 à 22:37

aaaah joli coup Merci vham

Posté par
patrice rabiller
re : Équation à trois inconnues 26-03-18 à 07:18

Félicitations vham, pour ta persévérance.

Est-ce que quelqu'un connaît la source de ce problème ? Je sais que le monde des équations diophantiennes est vaste, mais celle-ci est particulièrement simple dans son énoncé ...

Encore une fois bravo

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 26-03-18 à 18:00

moi je ne dis pas bravo ...

certes c'est bien de donner (au moins) une solution ... voire plusieurs pour dire qu'il y en ...

mais bon c'est uniquement de la machine et pas difficile à programmer non plus ...

mais bravo tout de même pour la persévérance et merci de nous faire partager vos trouvailles ...



évidemment je dirai très bravo pour une solution "à la main" et des outils pas trop compliqués et je dirai bravo pour pour celui qui nous donne une solution à la main avec des outils plus compliqués ...

ce qui n'implique pas de ne pas utiliser une machine pour des taches subalternes ...

Posté par
vham
re : Équation à trois inconnues 26-03-18 à 21:31

Bonsoir,

à carpediem : Utiliser le bon outil avec la bonne méthode est effectivement un art qui n'appelle pas les bravos, mais qui reste indispensable pour accéder à certaines solutions.
On n'est pas là dans le domaine de la "démonstration", simplement dans le non-faisable à la main avec papier crayon...
Je vous mets au défi de montrer à la main les solutions en remplaçant 17 par 5 ou 6 puis montrer qu'on n'en trouve pas d'aussi accessibles pour 7 et 8.

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 27-03-18 à 09:51

je suis tout à fait d'accord avec toi bien sur ...

j'étais un peu provocateur ... et j'apprécie tout à fait l'effort et la persévérance pour produire des solutions (quelle que soit la méthode)

Posté par
vham
re : Équation à trois inconnues 27-03-18 à 11:30

Bonjour à tous,
oui, c'tait provocateur !
programmation simple et propre en Python :

from math import sqrt
def Racines(k,x0,xmax): # Solution de x/y+y/z+z/x=k, x,y,z,k entiers positifs
    for x in range(x0,xmax+1):
        for z in range(1,k*x+1):# z limité car k-z/x doit être >0
            d=(z*(z/x-k))**2-4*x*z # Delta de l'équation degré 2 en y
            if d>0:
                y=round((-z*(z/x-k)+sqrt(d))/2) # valeur de y
                if x*x*z+y*y*x+z*z*y==k*x*y*z: # test par calcul sur entiers
                    return [x,y,z,k]
    return "Solution non trouvée"
print(Racines(17,1,2000))
durée d'exécution : moins de 10 secondes (GUI idle)

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 27-03-18 à 17:58

merci

en plus je dois me mettre à python qui est préconisé dans les programmes officiels ...

Posté par
alb12
re : Équation à trois inconnues 27-03-18 à 21:21

salut,
l'association homme/machine sera toujours superieure à l'homme seul ou à la machine seule (Cedric Villani)
Vous avez 3 heures ...

Posté par
chadok
re : Équation à trois inconnues 27-03-18 à 22:58

Au bureau, nous remercions tous les jours Excel, Matlab et Python. Pragmatisme oblige. Depuis à peu près 20 ans que je travaille, je ne crois pas avoir résolu une intégrale ou une équa diff à la main ou alors très simple, juste pour le fun.
Ceci étant, il est clair que les bancs de l'école sont indispensables, pour comprendre ce qu'on est en train de demander à son PC...

Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 02-04-18 à 18:33

Je ne sais pas si quelqu'un a trouvé la réponse mais voici ma solution intégrale :
Considérons l' expression
(y/z)+(z/y) = μ,   (1)
( μ est un entier ou un rationnel)

(1) est sous la forme x +1/x qui est toujours supérieur ou égal à 2
(car x2-2x+1>=0). En revenant a (1) on a:

(1) <==> (y^2+z^2)/xy =μ
                   y^2 - μyz + z^2=0
Et son discriminant par rapport à y est.    
  k= μ^2 z^2 - 4z^2
      = z^2 (μ^2-4)

A présent nous allons discuter 2 cas: μ est un entier ou est un rationnel pur

---> μ est un entier

y un entier<--> k est un carré donc il existe e/  μ^2 -e^2 = 4. Et comme est pair alors e et μ sont de même parité. Dans ce cas e=0 et μ=2 est la seule solution possible.
Dans ce cas k =0 et y=z , y est un entier et l' equation de depart donne
x/ y + 2 = 17<====> x = 15y

d' ou le triplet (15y, y, y) , y un entier non nul est solution.

---> μ est un rationnel pur (e= c/ d irréductible aussi )

k = z^2 (μ^2 -4) et
                                     μ^2=e^2+4
                                     μ^2=c^2/d^2 + 4
                                              =( c^2+ (2d)^2)/d^2
Et le numérateur est aussi est un carré avec c=t^2-1,  d=t, t un entier naturel non nul ce qui donne
μ^2 =( (t^2+1)/t)^2 ce qui donne ainsi

μ= (t^2+1)/t (car μ>=2) et ainsi on a

k = (z . (t^2-1)/t)^2 donnant ainsi pour y:

Y1 = 1/2. z (t^2+1-t^2+1)/t donc Y1=z/ t
Y2= 1/2. z (t^2+1+t^2-1)/t donc Y2= z.t

pour Y1= z/ t, y est entier ssi t =1 qui rejoint le cas où μ est un entier naturel étudié plus haut.
Pour Y2 = z.t l' equation de départ devient

x/(t.z) + t+1/t =17
x+z.t^2+z =17z.t
x = z (17t-t^2-1)
Avec x >0,  17t- t^2-1 doit être strictement positifs donc t appartient à.       [2;16] donc dans ce cas le triplet solution est de la forme
(Sz, tz,z) , z est entier naturel non nul,          S= 17t-t^2-1, 2=<t>=16 .

La solution rédigée ici considère que        
x, y ,z >0.  dans le où ils sont négatifs, les solutions sont:

- 1er cas:  (17z, z,z) ou (19,-z,z)  z un entier relatif non nul
2eme cas:  (S.z, t.z, z) , z est un entier relatif non nul  , S =( 17t-t^2-1) , t est un entier relatif. On retrouve aussi les solution du premier cas.

J' espere avoir ete utile........

Posté par
lake
re : Équation à trois inconnues 02-04-18 à 21:38

Bonsoir,

  >>Seconde2000:

  Tu en es resté à ceci:

Citation :

   Je n arrive pas à résoudre

(x/y)+(y/z)+(z/y)=17

Avec x y et z entiers


Mais le bon énoncé est cela:

  
Citation :
l'énoncé c'est

x/y + y/z + z/X=17

avec x, y  , z entiers positifs




  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Équation à trois inconnues 04-04-18 à 11:30

Bonjour,
A partir des trois solutions données par vham, quelques remarques pour tenter de faire avancer le Schmilblic :
La troisième se déduit de la première en multipliant par 3.
Les 2 autres ont la même forme.
ab2 , ca2 , bc2 et cb2 , ac2 , ba2 . Avec a = 18 b = 5 c = 37 .

On a a3 + b3 + c3 = 17 abc .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Équation à trois inconnues 04-04-18 à 16:36

Pas très différent avec 19 au lieu de 17 :
13 + 53 + 93 = 19159 .

Les triplets donnés par chadok sont 5 92 952 et 9 52 592 .
En y glissant des 1 et 12 , c'est de la même forme qu'avec 17 .

Posté par
vham
re : Équation à trois inconnues 05-04-18 à 15:03

Bonjour,

Bravo Sylvieg     pour avoir ramené à la forme  a^3 + b^3 + c^3  =  17 abc

qui donne \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=17

d'où \frac{a^2b}{b^2c}+\frac{b^2c}{c^2a}+\frac{c^2a}{a^2b}=17

où l'on identifie x=a^2b,\ y=b^2c,\ z=c^2a

Posté par
carpediem
re : Équation à trois inconnues 05-04-18 à 16:26

ouais on pouvait le déduire de mon post

carpediem @ 24-02-2018 à 19:34

\dfrac x y + \dfrac y z + \dfrac z x = 17

on peut déjà remarquer que si (x, y, z) est solution alors (kx, ky, kz) est solution (*)

de plus la permutation circulaire (x, y, z) --> (y, z, x) --> (z, x, y) conduit à des solutions  (+)

donc si on a une solution on en a une infinité ...

on peut donc supposer x, y et z premiers entre eux  en factorisant par le pgcd de x, y et z ...

\dfrac x y + \dfrac y z + \dfrac z x = 17 \iff x^2z + y^2x + z^2y = 17xyz \iff z(x^2 + yz) = xy(17z - y)  (1)

à voir ...


maintenant pour aller plus loin :

on suppose x, y et z premiers entre eux (d'après (*)


supposons de plus x et y premiers entre eux et soit d un diviseur premier de x

donc d ne divise pas y et d divise z(x2  +yz)

si d ne divise pas z alors d divise x2 + yz et par CL divise yz = x2 + yz - x2
et d'après le lemme de Gauss il divise y

ce qui est contradictoire donc d divise z

donc tout diviseur premier de x divise z
de même tout diviseur premier de y divise z

et ""inversement"" si x et y ont un diviseur commun alors x et z ou y et z sont évidemment premiers entre (sinon contradiction avec (*))


on peut donc ne s'occuper que du cas (d'après (+):

x, y et z premiers entre eux
x et y premiers entre eux

(donc x = x, y = y et z = pqr où p est le produit des diviseurs premiers de x et q le produit des diviseurs premiers de y ...) sans intérêt dans l'immédiat ...
en fait faux mais peut inspirer (c'est mon cas) réfléchir pourquoi car il y a du vrai dans ce faux

reprenons :

soit d un nombre premier de x et écrivons x = d^a p avec (d, p) = 1 et y = d^b q avec (d, q) = 1 et z = d^c r avec (d, r) = 1

alors

x^2z + y^2x + z^2y = 17xyz \iff d^{2a + c}p^2 r + d^{a + 2b}pq^2 + d^{b + 2c} qr^2 = 17d^{a + b + c}pqr

put... mer ... fait iech ... après moult changement effaçage et autres corrections ça ne vient toujours pas ...

avec ce beau temps j'va prendre l'air au jardin ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Équation à trois inconnues 05-04-18 à 18:19

Oui carpediem, x, y, z premiers entre eux m'a été utile.
On peut en déduire que a, b, c sont premiers entre eux deux à deux.

Je donne aussi mes idées inabouties ci-dessous.
Comment trouver "à la main" trois entiers naturels a, b, c premiers entre eux deux à deux
avec a3 + b3 + c3 = 17 abc .

Le modulo 3 ou 9 est peut-être une piste. 17 -1 [3]ou[9] .
Si aucun des trois entiers n'est un multiple de 3, alors on a que des 1 modulo 3.
Avec les 8 combinaisons possibles de + et - , on n'a jamais a3 + b3 + c3 - abc [3] .
On peut donc supposer a multiple de 3 .
On doit alors avoir b3 + c3 0 [3] .
On peut donc supposer b 1 [3] et c -1 [3].
Mais alors a3 + b3 + c3 0 [9] .
Donc a est un multiple de 9 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Équation à trois inconnues 05-04-18 à 18:38

Oups

Citation :
Avec les 8 combinaisons possibles de + et - , on n'a jamais a3 + b3 + c3 - abc [3] .
C'est faux
Il suffit de regarder ce qui se passe selon le nombre de -1 .

Ce pourrait être utile avec 19 au lieu de 17.

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