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Niveau maths spé
Equation, arithmétique
Posté par Mmamm
Bonsoir
J'ai eu cette question en colle :
Dans N résoudre:
pgcd(a,b) + ppcm(a,b) = a + b
Je n'ai pas réussi à la traiter, j'ai fait le cas a et b premiers entre eux puis aucune idée de comment généraliser donc j'ai changé d'exercice.
Quelqu'un pourrait il me donner quelques indications?
Merci d'avance
salut
soient d et m le pegc et le ppcm de a et b
il existe donc des entiers u et premiers entre eux tels que a = du et b = dv
pgcd (a, b) + ppcm (a, b) = a + b <=> d + m = du + dv <=> ...
Ça donne pgcd(a,b)=a ou ppcm(a,b)=b c'est ça?
Est ce que dans le cas général on peut dire qu'il existe p et p' premiers entre eux tels qu'il suit?
p * pgcd(a,b) = a
p' * pgcd(a,b) = b
Puisque ab =pgcd(a,b) ppcm (a,b)
donc en remplaçant dans l'équation et en éliminant ppcm(a,b) la solution est facile.
Mmamm
essaye de comprendre les indications de Carpediem !
ça veut tout simplement dire que a divise b ou bien b divise a
ou encore pgcd(a,b)=a ET ppcm(a,b)=b ou ... le contraire
tu peux aussi profiter du fait que pour tout couple d'entiers dp=ab
(d est leur pgcd et p leur ppcm)
et donc si a+b=d+p
cela signifie que (a;b) et (d;p) sont solutions de la même équation du second degré (même somme et même produit) et que donc (puisqu'il n'y a que deux solutions à une telle équation)
(a=d et b=p) ou (a=p et b=d)