Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Equation/ Arithmétique

Posté par
renelejan
20-05-22 à 17:06

Bonjour

Je m'interroge sur cet énoncé :
  
Résoudre dans N^2 l'équation suivante:
  
x=(3/2)^y *1000

La fraction me gêne, pouvez vous m'éclairer?

Merci.

Posté par
verdurin
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 17:21

Bonsoir,
tu peux réécrire ton équation

x=\dfrac{3^y\times 5^3\times2^3}{2^y}

Posté par
carpediem
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 17:39

salut

je dirai même plus : on peut ne plus avoir de fraction !!

Posté par
renelejan
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 18:04

Merci
J'arrive à :
    x =  3^y * 2^3-y * 125

Je doute que ce soit la bonne déduction de vos réponses.    

Posté par
GBZM
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 18:07

Bonjour,

N'oublie pas qu'on cherche les solutions avec x entier naturel et y entier naturel !

Posté par
verdurin
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 18:51

Et n'oublie pas les parenthèses.
Quand tu écris  

Citation :
x =  3^y * 2^3-y * 125
j'imagine que tu veux dire  
Citation :
x =  3^y * 2^(3-y) * 125

Ce n'est pas du tout la même chose.

Posté par
carpediem
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 20:15

renelejan @ 20-05-2022 à 18:04

J'arrive à :     x =  3^y * 2^3-y * 125


je l'aurai plutôt écrit 2^y x = 3^y \times 2^3 \times 5^3

et la définition de divisibilité te permet alors de conclure que ...

Posté par
carpediem
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 20:15

et un grand mathématicien et son fameux lemme pourra t'être très utile ...

Posté par
renelejan
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 20:46

carpediem @ 20-05-2022 à 20:15

renelejan @ 20-05-2022 à 18:04

J'arrive à :     x =  3^y * 2^3-y * 125


je l'aurai plutôt écrit 2^y x = 3^y \times 2^3 \times 5^3

et la définition de divisibilité te permet alors de conclure que ...
5^3 divise 2^yx
PGCD (5^3 ; 2^y) = 1
Lemme de Gauss :  5^3 divise x
x= k*125, k appartient à N*

Suis-je sur la bonne voie?

Posté par
renelejan
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 20:51

avec les parenthèses:

5^3 divise (2^y)x
PGCD (5^3 ; 2^y) = 1
Lemme de Gauss :  5^3 divise x
x= k*125, k appartient à N*

Suis-je sur la bonne voie?

Posté par
AitOuglif
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 21:23

Bonjour

On aimerait bien avoir x=entier. Donc il faudrait imposer que 2^y divise…
Utilise ensuite Gauss pour en déduire une condition sur y.

Posté par
verdurin
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 21:36


renelejan @ 20-05-2022 à 20:51

avec les parenthèses:

5^3 divise (2^y)x
PGCD (5^3 ; 2^y) = 1
Lemme de Gauss :  5^3 divise x
x= k*125, k appartient à N*

Suis-je sur la bonne voie?

Non.

À quelle condition le nombre \dfrac{3^y\times 5^3\times2^3}{2^y} est-il entier ?

Posté par
renelejan
re : Equation/ Arithmétique 20-05-22 à 23:33

verdurin @ 20-05-2022 à 21:36


renelejan @ 20-05-2022 à 20:51

avec les parenthèses:

5^3 divise (2^y)x
PGCD (5^3 ; 2^y) = 1
Lemme de Gauss :  5^3 divise x
x= k*125, k appartient à N*

Suis-je sur la bonne voie?

Non.

À quelle condition le nombre \dfrac{3^y\times 5^3\times2^3}{2^y} est-il entier ?

    x est entier si (3^y)*(5^3)*(2^3) = k*(2^y)
soit si 2^y divise (3^y)*(5^3)*(2^3).
pgcd (2^y ; (3^y)*(5^3))=1
2^y divise 2^3
2^y * k = 2^3
y est inférieur ou égal à 3 pour que k soit entier.

donc : S= (1500 ; 1); (2250;2);(3375; 3). C'est bon?

Posté par
AitOuglif
re : Equation/ Arithmétique 21-05-22 à 12:02

Et (1000,0)?

Posté par
renelejan
re : Equation/ Arithmétique 21-05-22 à 12:25

AitOuglif @ 21-05-2022 à 12:02

Et (1000,0)?

Merci

Il fallait résoudre dans N^*2 , j'ai mal recopié désolé.

Si on veut généraliser le problème pour n'importe quel n pair tel que :

résoudre dans N*^2:
x=(3/2)^y *n,  

je crois avoir compris que "y" doit être inférieur ou égal à "z", tel que :
n= 2^z * w, avec w et 2 premiers entre eux.
C'est correct?

Posté par
carpediem
re : Equation/ Arithmétique 21-05-22 à 13:00

carpediem @ 20-05-2022 à 20:15

[je l'aurai plutôt écrit 2^y x = 3^y \times 2^3 \times 5^3

et la définition de divisibilité te permet alors de conclure que ...


la décomposition en facteurs premiers est unique (à permutation près)

donc si deux entiers sont égaux alors ...

y prend les 0, 1, 2 et 3 alors dans chaque cas x = ...

et effectivement le lemme de Gauss justifie tout cela ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !