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Niveau seconde
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équation avant de résoudre

Posté par
gabno
15-12-20 à 13:16

Bonjour, j'ai fait mon exercice "problème" et j'aimerais savoir si c'est bon , en vous remerciant d'avance.

Enoncé : "mettre en équation avant de résoudre"
Deux cyclistes empruntent en sens inverse la même route entre deux villages A et B distants de 35 km. Le premier cycliste part du village A et roule à une vitesse de 12 km/h ; le second part 20 minutes avant du village B et roule à 14 km/h. Au bout de combien de temps depuis le départ du premier ces deux cyclistes se croisent-ils ? Préciser alors les distances parcourues par chacun.

Voilà mes réponses :
t=0 le cycliste A est en A  et le cycliste B en B
t=20mn  A  a parcouru 12*20/60=4km
A cet instant la distance qui sépare A de B est 35-4=31km.
A partir de cet instant t=20mn  la vitesse de rapprochement des cyclistes est  V=12+14=26km/h
La durée du rapprochement t=60*31/26 =71,5mn
Donc, ils vont  se croiser 20+71,5 =91,5mn soit 1h31mn30s après le départ du cycliste A.
Distance parcourue par A:  d=12*91,5/60=18,3km
Donc, ils vont se croiser à 18,3km du village A
Le cycliste B aura parcouru d'=14*71,5/60=16,7km
Et  vérification:  d+d'= 18,3+16,7=35km

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 13:31

Bonjour,

c'est juste
mais tu ne respectes pas l'énoncé car tu n'as écrit aucune équation...

écrire des équations c'est par exemple, écrire que l'abscisse du cycliste A en fonction du temps est 20t , en km avec le village A comme origine et t en heures
et que l'abscisse de B est ...
toujours avec le village A comme origine et l'origine des temps = le départ de A

etc


....

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 13:33

** 12t la vitesse est 12km/h pas 20

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 14:05

D'accord, merci.
l'abscisse du cycliste A en fonction du temps est 12t , en km avec le village A comme origine et t en heures et que l'abscisse de B est 14t, en km avec le village B comme origine et t en heures

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 14:19

il faut prendre absolument pour les deux la même origine le village A et le départ de A pour le temps
sinon on ne pourra rien en tirer comme équation
que lorsqu'ils se rencontrent les abscisses sont égales,
que yA = 14t est égale à yB = ...
donc l'équation 14t = ...

l'abscisse du cycliste B à partir de la ville A est de la forme yB = at+ b
à t = 20min, (1/3 d'heure) cette abscisse à partir de la ville A est la distance de la ville B = 35 km
yB diminue au fur et à mesure que t augmente
donc le coefficient a est négatif.
etc

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 15:08

yA = 14t est égale à yB = 12t
donc l'équation 14t = ?
yb = at +b = 14+12 = 26

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 15:19

yB n'est pas égal à 12t mais à yB = -12t plus quelque chose,
MOINS 12 t
il se déplace de B vers A
son abscisse part de 35 à t = 1/3 h (ce qui permet de calculer le coefficient b de yb = at+b)
et diminue (coefficient a négatif = -12) jusqu'à 0 quand il atteindra la ville A

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 16:08

yA = 14t est égale à yB = -12t
donc l'équation yB = -12t+14t
                                          = 2

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:17

yB n'est pas égal à -12t ** edit : -12t **


yB = ax + b
il faut trouver a et b
a = -12
b est déterminé par le fait que à t = 20 min (1/3 h), yB = 35 (le cycliste B est à la ville B, distante de 35 km de l'origine A)

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:25

yB = -12x+14

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:25

grr tu m'embrouille avec tes bêtises,12, 14 tout mélangés un coup sur deux.

yA = 12 t, le cycliste A roule à 12 km/h, en direction de B

yB = -14 t + b, le cycliste B roule à 14 km/h en direction de A (sa distance à A va diminuer, le coefficient est négatif, -14)

et b n'est pas égal 0, (b=0 voudrait dire que à t = 0 il serait en A !!)

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:30

faudrait reviser soigneusement les fonctions affines et linéaires, là !!!


yB = -14t + b
à t =1/3, yB = 35 au moment où il part de B (à t =20 min = 1/3 heure) il est en B, à 35 km de l'origine A)

35 = -14*1/3 + b
donc b = ??

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:35

35 = -14 * 1/3 + b
35 = -4,67 + b
b = -4,67 - 35
b= 39,67

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:36

petite erreur c'est 35 = -4,67 - b et non 35 = -4,67 + b

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:37

oups
B part 20 min avant
à t = -1/3 (moins 20 min)

35 = -14*(-1/3) + b
b = ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:40

de toute façon y a pas de "-b"

c'est +b un point c'est tout.

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 17:42

(et ta réponse d'origine sans équation est donc fausse car B part AVANT A et pas après)

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 18:09

35 = -14*(-1/3) + b
35 = 4,62 + b
b = 35-4,62
b = 30,38

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 18:29

utiliser les valeurs exactes (sous forme de fraction) est obligatoire

donc yB = -14t + "30,38" oui, moyennant d'écrire ce "30,38" sous la forme d'une fraction exacte.

-14*(-1/3) = 14/3 et rien d'autre (certainement pas 4,62)
35 - 14/3 = ?? / 3 et rien d'autre

1/3 heure c'est exactement 20 min
0,33 h c'est 19 min 48 secondes !
si on écrit 0,33 on aurait donc au final des résultats faux.

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 18:33

-14*(-1/3) = 14/3
35 - 14/3 = 105 / 3

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 18:42


35 - 14/3 = (35*3 - 14)/3 = ??

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 21:30

35 - 14/3 = (35*3 - 14)/3 = 91/3

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 21:35

oui,

donc l'équation est yA = yB c'est à dire

12t = -14t + 91/3

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 21:55

Merci beaucoup.
Juste une petite chose s'il te plait.
Mon devoir est juste sauf je n'avais pas fait l'équation, je voudrais s'il te plait que tu me fais copie coller de l'exercice (c'est à dire placer l'équation  dans  le sujet)

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 22:16

les calculs faits au début sont en fait faux car dans ces calculs B part 20 minute après A
alors que dans l'énoncé B part 20 minutes avant A

ils seraient donc à refaire

en tout cas l'énoncé ("mettre en équation avant de résoudre") exige que l'on fasse (seulement) autrement :
obtention de l'équation 12t = -14t + 91/3 comme on a fait

ou mieux (deuxième erreur de lecture d'énoncé) :

Citation :
Au bout de combien de temps depuis le départ du premier
décaler l'origine des temps au départ de B, 20 minutes plus tôt, et pas de A.

puis résoudre cette équation pour obtenir l'instant t où les cyclistes se croisent. et la distance

sans un seul mot des calculs que tu avais fait au début.

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 22:22

je m'embrouille complet là, vu que maintenant mes calculs sont faux, serait-il possible d'avoir les réponses pour comprendre

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 22:30

ne pas tenir compte de cette partie du message

mathafou @ 15-12-2020 à 22:16

ou mieux (deuxième erreur de lecture d'énoncé) :
Citation :
Au bout de combien de temps depuis le départ du premier
décaler l'origine des temps au départ de B, 20 minutes plus tôt, et pas de A.

"le premier" n'est pas celui qui part le plus tôt (B) mais bien le premier dont on parle, A

l'équation est donc bien la bonne.
et maintenant il faut la résoudre

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 22:38

12t = -14t + 91/3
t = 91/3 / 26
t = 7/6
Solution est [7/6].

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 22:50

résumons.

tes calculs du début sont non seulement faux (car l'énoncé a été mal lu : B part avant A, et pas après A)
mais inutiles, on ne cherchera pas à les corriger

il faut :
obtenir la distance du cycliste A à la ville A en fonction du temps :
yA = 12 t

obtenir la distance du cycliste B à la ville A en fonction du temps, avec la même origine des temps
yB = -14t + 31/3 (voir les détails ci dessus)

lorsque ces cyclistes se croisent, yB = yA (ils sont à la même distance de la ville A)
et donc l'équation :
12 t = -14t + 31/3

il faut maintenant résoudre cette équation
pour obtenir le temps depuis le départ de A ("du premier" dont on parle)

puis calculer l'endroit où ils se croisent en remplaçant t par la valeur obtenue
et donc la distance parcourue par chacun

un point c'est tout

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 23:00

erreur de recopie et messages croisés
12 t = -14t + 91/3

que tu as résolue entre temps
t = 7/6 d'heures OK
= en heures et minutes ? (ça tombe juste)
c'est la réponse à la première question (au bout de combien de temps)

reste à calculer la position des cyclistes à cet instant.
(yA = 12 t = ...)

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 23:02

yB = -14t + 31/3 (voir les détails ci dessus) === > 31 ???

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 23:03

okk ouii

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 23:07

Bon,
Dodo.
retour demain (ou un autre intervenant)

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 23:08

yA = 12t = 12 * 7/6 = 72/6 * 7/6 = 504/6
je ne suis pas sur ?

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 15-12-20 à 23:09

Merci pour tout et bon dodo aussi et à demain

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 16-12-20 à 09:46

bonjour.
Pour => "Préciser alors les distances parcourues par chacun".

Le premier cycliste A = 35/12 = 2,92
Le second cycliste B = 35/14 = 2,5

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 16-12-20 à 10:27

bonjour,

Non
on demande les distances parcourues depuis leur départ jusqu'au moment où ils se rencontrent

de plus ton 35/12 est le TEMPS que met le cycliste A pour arriver à la ville B !

yA = 12t = 12 * 7/6 = 72/6 * 7/6 = 504/6 Faux
réviser les calculs avec des fractions, c'est pour les additions qu'on met au même dénominateur, pas pour les multiplications !
de plus le produit de a/b par c/b n'est pas (a*c)/b mais serait (a*b)/(c*c)
12 * 7/6 = (12*7)/6
et simplifier le résultat !
et ça ce sera bien la distance parcourue par A pendant les "7/6" (hum) d'heure avant de croiser B.

et pour B ?
le plus simple est de dire que ce point de rencontre là est à "504/6" (hum) km de A donc à 35 - "504/6" de B (une fois corrigé les "504/6" faux bien entendu)
ce qui est la distance parcourue par ce cycliste B

attention, si on veut calculer cette distance par la vitesse de B et le temps pendant lequel il pédale, ne pas oublier qu'il pédale 20min de plus que A !
donc il pédale pendant "7/6" d'heure + 20 min = ...

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 16-12-20 à 22:47

bonsoir, désolé j'avais problème d'internet.
Le temps que met le cycliste A pour arriver à la ville B est 35/12 .
(a*b)/(c*c)
12 * 7/6 = (12*7)/6 = 84/6 = 14/1
La distance parcourue par A pendant les 7/6 d'heure avant de croiser B est 14/1

Pour B :
ce point de rencontre là est à 84/6 km de A donc à 35 - 84/6 de B.
35-84/6 = 210/6-84/6 = 126/6 = 21/6
ce qui est la distance parcourue par ce cycliste B est de 21/6 km

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 11:10

Le temps que met le cycliste A pour arriver à la ville B est 35/12 .
juste mais on ne le demande pas
de plus on ne dit pas 35/12 heures mais 2h et ... minutes
de même pour les 7/6 heures = ... h ... min
on garde 7/6 dans les calculs mais dans le résultat que l'on écrit, on écrit ...h...min

La distance parcourue par A pendant les 7/6 d'heure avant de croiser B est 14/1
juste mais farfelu
14/1 = 14 tout court,
14 km

ce point de rencontre là est à 84/6 km de A
(farfelu d'où diable sort ce calcul ???)
il est à 14km de A, on vient de le calculer !!
35-14 = 21 km

126/6 = 21/6 ?? ah bon ? 126 = 21 ??
126/6 = 21 tout court, 21 km

vérification :
le cycliste B à pédalé pendant ... heures (20 minutes de plus que A)
ce qui à la vitesse de 14 km/h donne une distance de 14 * ??? = ... (doit donner 21)

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 11:54

Le temps que met le cycliste A pour arriver à la ville B est 35/12 .
35/12 heures = 3h et 32 minutes
de même pour les 7/6 heures = 1 h 17 min

(a*b)/(c*c)
12 * 7/6 = (12*7)/6 = 84/6 = 14
La distance parcourue par A pendant les 7/6 d'heure avant de croiser B est 14 km.

Pour B :
ce point de rencontre là est à 14 km de A donc à 35 - 14 de B.
35-14 = 21
ce qui est la distance parcourue par ce cycliste B est de 21 km.

j'ai du faire une petite erreur car à la vérification je tombe un peu moins que 21 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 12:01

7/6 heures = 1 h 17 min
faux
1/6 heure est très exactement 60/6 = 10 minutes.
7/6 h = 6/6 + 1/6 = 1 heure et 1/6 = 1h 10 min

de même pour 35/12 : 1/12 d'heure c'est très exactement 60/12 = 5 minutes

à la vérification je tombe un peu moins que 21 ?
montre le détail de tes calculs de cette vérification.

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 12:52

D'accord.

Détail :   35/12 : 1/12 d'heure = 60/12 = 5 minutes
                  1/6 heure = 60/6 = 10 minutes
                  7/6 heure = 6/6 +1/6 = 1 heure et 1/6 = 10 min
                  donc, 1h10min.

Le temps que met le cycliste A pour arriver à la ville B est 35/12 .
35/12 heures = 2h et 55 minutes
de même pour les 7/6 heures = 1 h 10 min

(a*b)/(c*c)
12 * 7/6 = (12*7)/6 = 84/6 = 14
La distance parcourue par A pendant les 7/6 d'heure avant de croiser B est 14 km.

Pour B :
ce point de rencontre là est à 14 km de A donc à 35 - 14 de B.
35-14 = 21
ce qui est la distance parcourue par ce cycliste B est de 21 km.

vérification :
le cycliste B à pédalé pendant 1 heure et 30min (20 minutes de plus que A)
ce qui à la vitesse de 14 km/h donne une distance de 14 * 1,5 = 21
Donc, il faut rajouter à1h30+20min = 1h50min

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 13:19

c'est bon les calculs ? ou faut plus détailler ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 13:56

c'est bon.

ces calculs font suite à ceux faits pour obtenir l'équation et la résoudre
et mes commentaires sur la façon d'additionner des fractions, et t'expliquer à toi que 1/6 heure = 10mn etc , inutiles de les recopier mot à mot !
(on verra trop que tu les as recopiés d'ailleurs)
tu dois rédiger (avec les calculs justes) selon ta façon à toi de rédiger et d'écrire des calculs (justes, pas faux) !
ce qui fera que tu auras réellement compris ces calculs et ce qu'ils représentent.

d'ailleurs tu remarqueras que les calculs algébriques représentent en fait ce que l'on fait sans algèbre ni équations :

B part 20 mn avant A, pendant ces 20 minutes il a parcouru 14/3 km
et se trouve à 35 - 14/3 km = 91/3 km de A

(c'est en fait la même chose que le calcul de b dans yB = -14 t + b que l'on a fait !!)

à partir de cet instant ils se dirigent l'un vers l'autre à la vitesse relative de 12 + 14 = 26 km/h

en résolvant
12t = -14t + 91/3
(12+14)t =91/3 on fait intervenir cette vitesse relative de 12+14 = 26 km/h
et t = (91/3)/26 est tout simplement le calcul du temps mis pour parcourir ces 91/3 km restants à la vitesse relative de 26 km/h !

bref avec l'équation et l'algèbre on a fait finalement les mêmes calculs que l'on ferait sans
alors à quoi sert cet exo et sa demande de le faire avec une équation ?

parce que avec des problèmes plus compliqués, l'utilisation d'équations sera plus simple que "avec des phrases"
et le but de cet exercice est de s'exercer à manipuler des équations.

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 14:23

d'accord avec tout ça qui est bon et ce que j'ai fait au début comment rédiger l'essentiel sans recopier ce qui est inutile ? (bien sur si ce n'est pas trop vous demander)

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 16:10

si tu as bien compris ce qu'on a fait, à toi de le rédiger.

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 19:06

La distance du cycliste A à la ville A en fonction du temps est yA = 12 t.
La distance du cycliste B à la ville A en fonction du temps, avec la même origine des temps
yB = -14t + 91/3

Ces cyclistes se croisent, yB = yA (ils sont à la même distance de la ville A).
Donc, l'équation : 12 t = -14t + 91/3
                                 t = 91/3/26
                                 t = 7/6
Solution est [7/6]
Le temps depuis le départ de A est de 1heure10min.

Le temps que met le cycliste A pour arriver à la ville B est 35/12 .
35/12 heures = 2h et 55 minutes
7/6 heures = 1 h 10 min

(12*7)/6
= 84/6
= 14
La distance parcourue par A pendant les 7/6 d'heure (1h10) avant de croiser B est 14 km.
Pour B :
Le point de rencontre est à 14 km de A donc à 35 - 14 de B.
35-14 = 21
La distance parcourue par ce cycliste B est de21 km.

12t = -14t + 91/3
(12+14)t = 91/3
12+14 = 26
La vitesse de rapprochement des cyclistes est de 26 km/h.

t = (91/3)/26 est le temps mis pour parcourir ces 91/3 km restants à la vitesse relative de 26 km/h.

vérification :
le cycliste B à pédalé pendant 1 heure 30min (20 minutes de plus que A)
ce qui à la vitesse de 14 km/h donne une distance de 14 * 1,5 = 21.

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 20:09

gabno @ 17-12-2020 à 19:06

La distance du cycliste A à la ville A en fonction du temps est yA = 12 t.
La distance du cycliste B à la ville A en fonction du temps, avec la même origine des temps
yB = -14t + 91/3 pourquoi ? les détails de l'obtention de cette fonction sont nécessaires

Ces cyclistes se croisent, yB = yA (ils sont à la même distance de la ville A).
Donc, l'équation : 12 t = -14t + 91/3
il manque une ligne pour voir d'où sort le 26 qui suit :
t = (91/3)/26 parenthèses
t = 7/6
Solution est [7/6]
Le temps depuis le départ de A est de 1heure10min.

Le temps que met le cycliste A pour arriver à la ville B est 35/12 .
35/12 heures = 2h et 55 minutes
inutile, on ne le demande pas
7/6 heures = 1 h 10 min redite

(12*7)/6 pourquoi ce calcul ?
= 84/6
= 14
La distance parcourue par A pendant les 7/6 d'heure (1h10) avant de croiser B est 14 km.
ah d'accord, on sait maintenant seulement pourquoi ...
Pour B :
Le point de rencontre est à 14 km de A donc à 35 - 14 de B.
35-14 = 21
La distance parcourue par ce cycliste B est de21 km.

12t = -14t + 91/3
(12+14)t = 91/3
12+14 = 26
La vitesse de rapprochement des cyclistes est de 26 km/h.

inutile ça n'a rien à voir avec la demande de l'exo,
c'était juste pour faire le lien entre une résolution par équation (demandée) et une résolution par seulement des phrases (non demandée)

t = (91/3)/26 est le temps mis pour parcourir ces 91/3 km restants à la vitesse relative de 26 km/h. idem

vérification :
le cycliste B à pédalé pendant 1 heure 30min (20 minutes de plus que A)
ce qui à la vitesse de 14 km/h donne une distance de 14 * 1,5 = 21.
cette vérification n'est pas demandée dans l'exo
c'est juste un moyen de vérifier ses propres calculs et rien d'autre
(ça peut rester sur ton brouillon)

Posté par
gabno
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 20:52

d'accord.
Donc,
La distance du cycliste A à la ville A en fonction du temps est yA = 12 t.
La distance du cycliste B à la ville A en fonction du temps, avec la même origine des temps
35 - 14/3 = (35*3 - 14)/3 = 91/3
yB = -14t + 91/3

Ces cyclistes se croisent, yB = yA (ils sont à la même distance de la ville A).
Donc, l'équation : 12 t = -14t + 91/3***
(12+14)t =91/3
26t = 91/3
t = (91/3)/26
t = 7/6
Solution est [7/6]
Le temps depuis le départ de A est de 1heure10min.
La distance parcourue par A pendant les 7/6 d'heure (1h10) avant de croiser B est 14 km.

Pour B :
Le point de rencontre est à 14 km de A donc à 35 - 14 de B.
35-14 = 21
La distance parcourue par ce cycliste B est de21 km.

Posté par
mathafou Moderateur
re : équation avant de résoudre 17-12-20 à 21:03

gabno @ 17-12-2020 à 20:52

...
La distance du cycliste B à la ville A en fonction du temps, avec la même origine des temps
35 - 14/3 = (35*3 - 14)/3 = 91/3
yB = -14t + 91/3
...
insuffisamment justifiée :
on avait dit
la distance du cycliste B à la ville A est de la forme yB = -14t + b
(le coefficient -14 indique qu'il va de B vers A à 14 km/h)
b se calcule car il est en B (à 35 km) 20 min avant le départ du cycliste A,
c'est à dire à t = -1/3 h
donc 35 = -14*(-1/3) + b

et maintenant, oui b = 35 - 14/3 etc

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