Niveau Maths sup

equation avec cos et sin au cube

Posté par gtaman (invité) 15-09-05 à 07:50

bonjour

je n'arrive pas à voir comment on peut résoudre cette équation
cos³(x)+sin³(x)=1
merci d'avance,bonne journée
gtaman

Posté par pietro (invité)re : equation avec cos et sin au cube 15-09-05 à 09:22

bonjour gtaman

1-cos³(x) = sin³(x)
(1-cos(x)).(1+cos(x)+cos²(x)) = sin(x).sin²(x)
(1-cos(x)).(1+cos(x)+cos²(x)) = sin(x).(1-cos²(x))
(1-cos(x)).(1+cos(x)+cos²(x)) = sin(x).(1-cos(x)).(1+cos(x))
a) 1-cos(x)=0 cos(x)=1 x=k.2
ou
b) 1+cos(x)+cos²(x) = sin(x).(1+cos(x))
cos²(x) = (1+cos(x)).sin(x) - (1+cos(x))
1-sin²(x) = (1+cos(x)).(sin(x)-1)
(1-sin(x)).(1+sin(x)) = - (1+cos(x)).(1-sin(x))
1-sin(x)=0 ou 1+sin(x)=-1-cos(x)
sin(x)=1 ou sin(x)+cos(x)=-2 qui est clairement impossible (il faudrait que cos(x) et sin(x) valent simultanément -1 !)
reste sin(x)=1 x = /2+k.2.

En résumé x=k.2 ou x = /2+k.2.

Posté par re : equation avec cos et sin au cube 15-09-05 à 12:29

Bonjour;
$\fbox{cos^3(x)+sin^3(x)=1\Longleftrightarrow cos^3(x)+sin^3(x)=cos^2(x)+sin^2(x)\Longleftrightarrow cos^2(x)(1-cos(x))+sin^2(x)(1-sin(x))=0}$
c'est une somme à termes positifs qui est nulle donc:
$\fbox{et\{{cos^2(x)(1-cos(x))=0\\sin^2(x)(1-sin(x))=0}$ d'où: $\fbox{et\{{cos(x)=0\\sin(x)=1}$ ou $\fbox{et\{{cos(x)=1\\sin(x)=0}$ c'est à dire: $2$\blue\fbox{x=\frac{\pi}{2} +2k\pi\\k\in\mathbb{Z}}$ ou $2$\blue\fbox{x=2k\pi\\k\in\mathbb{Z}}$
Sauf erreur bien entendu