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Équation avec logarithme complexe

Posté par
Picarresur6 20-12-22 à 23:28

Bonsoir,
Je cherche à résoudre :
z = \log_i z, mais je bloque.
Je sais qu'on a :
z = \log_i z \\ \Longleftrightarrow z = \frac{\ln z}{\ln i} \\ \Longleftrightarrow z = \frac{\ln z}{\frac{1}{2}\pi i} \\ \Longleftrightarrow z = \frac{2i\ln z}{\pi}

Mais arrivé là, je ne sais pas quoi faire de plus... Je crois qu'il faut utiliser la fonction W de Lambert mais je ne sais pas comment... Pourriez-vous m'aider ?

Merci par avance.

Posté par
malou Webmasterre : Équation avec logarithme complexe 21-12-22 à 09:19

Bonjour

Peux-tu renseigner ton profil s'il te plaît, cela est indispensable pour coller au mieux à ce que tu sais (ou ne sais pas) (espace membre / mon profil)

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Picarresur6re : Équation avec logarithme complexe 21-12-22 à 09:49

Bonjour,

En effet j'avais oublié de renseigner mon profil, je suis en 1ère année de prépa et je fais des maths chez moi pour le plaisir.

malou edit > ** merci **

Posté par
Ulmierere : Équation avec logarithme complexe 21-12-22 à 12:15

Il te manque pas mal de pièces du puzzle. La fonction W a plusieurs branches déjà, en fonction du domaine où tu veux résoudre, mais surtout ces branches sont réelles et concernent le logarithme réel.

Avant même de parler de fonction Lambert, quand tu travailles avec un log complexe, il faut toujours préciser de quelle détermination continue du log il s'agit (quelle demi-droite tu retires à C). Ensuite, il faudrait prolonger analytiquement la fonction W, ce qui est un autre sujet. Et tu peux aussi juger nécéssaire d'introduire des variétés analytiques (sphère de Riemann, etc), ce qui est encore autre chose.

Ce qu'on peut dire à niveau modeste, c'est que si z est une solution, elle vérifie i^z = z, donc est de module 1.
Donc tu peux parmaétriser l'équation sous la forme

e^{i\pi/2e^{it}} = e^{it}

donc i\pi/2e^{it} = it + 2ki\pi, k\in\Z
donc e^{it} est un réel
donc e^{it} = 1 ou e^{it} = -1
donc t = j\pi, j\in\Z

on remet ça dans l'équation : (-1)^j/2 = j + 2k.
Demi-entier = entier ? A mon avis y'a pas de solution

Posté par
Ulmierere : Équation avec logarithme complexe 21-12-22 à 12:17

En fait non, y'a une erreur dans i^z = z \implies |z| = 1, c'est un petit peu plus compliqué que ça

Posté par
Picarresur6re : Équation avec logarithme complexe 21-12-22 à 12:57

Bonjour,
Merci pour la réponse.

J'ai en effet oublié de le préciser mais je parlais bien de la branche principale du logarithme complexe définie par :
\log_i z  = \frac{-2i\ln|z| + 2\arg z}{\pi}, où \arg z correspond à l'argument compris dans [0; 2\pi]

J'ai trouvé une application de calcul qui accepte de prendre en charge ce type d'équations, et pourtant il y a bien deux valeurs qui sont solutions de l'équation :

z = e^{-W(-\frac{i\pi}{2})} \\ z =  e^{-W_1(-\frac{i\pi}{2}})

Mais je ne vois pas comment en arriver là...

Posté par
Ulmierere : Équation avec logarithme complexe 21-12-22 à 14:44

Si tu te permets d'utiliser la fonction de Lambert complexe, ça se fait directement sans parler de log

i^z = z \iff \exp(i\pi/2z) = z \iff 1 = z\exp(-i\pi/2z) \iff -i\pi/2 = (-i\pi/2z)\exp(-i\pi/2z)

Donc pour chaque branche de la fonction (multivaluée) W, on aura z = W(-i\pi/2) comme unique solution.


En analyse complexe on n'aime pas trop les fonctions multivaluées (racine carrée, log, W, ...) alors on évite de travailler dans C et on se place directement dans une certaine variété Riemannienne. Toute la difficulté de détermination du log et compagnie se trouve alors dans la géométrie plutôt que dans les calculs

Posté par
Ulmierere : Équation avec logarithme complexe 21-12-22 à 14:59

Il y a un epetite erreur de calcul évidemment à la fin. C'est bien sûr z = \dfrac{2iW\left(-\dfrac{i\pi}{2}\right)}{\pi}.

Qui correspond au résultat de Wolfram parce que

aW(1/a)\exp(W(1/a)) = a\times 1/a = 1 pour tout a implique que \exp(-W(1/a)) = aW(1/a) pour tout a.

Et on applique avec a = 2i/\pi

Posté par
Picarresur6re : Équation avec logarithme complexe 21-12-22 à 15:24

J'ai compris, merci !

Bonne fin de journée,


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