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Niveau seconde
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Équation avec paramètre

Posté par
MatteoPalu 13-01-22 à 16:11

Bonjour, j'essaie de résoudre une inéquation avec un paramètre :

y^3-(a^2+3)y^2+(a^2+3)y+a^4- 1

Merci d'avance pour votre aide.
Matteo Palu

Posté par
malou Webmasterre : Équation avec paramètre 13-01-22 à 16:21

Bonjour
je ne vois pas d'inéquation
quel est l'énoncé exact de cet exercice ?

Posté par
MatteoPalure : Équation avec paramètre 13-01-22 à 16:47

J'ai fait une faute dans l'énoncé ce n'est pas une inéquation c'est une équation :
y^3-(a^2+3)y^2+(a^2+3)y+a^4- 1
Matteo Palu

Posté par
malou Webmasterre : Équation avec paramètre 13-01-22 à 16:54

ceci n'est pas davantage une équation
et on aimerait savoir comment tu as trouvé ça
en seconde, d'où vient cet exercice et quel est son libellé exact ?

Posté par
lakere : Équation avec paramètre 13-01-22 à 17:38

Bonjour,

Une toute petite option sur ce sujet pour ne pas le perdre de vue en attendant les réactions de MateoPallu

Posté par
carpediemre : Équation avec paramètre 13-01-22 à 17:56

salut

moi itou avec une remarque : je vois que :

y^3 - (a^2 + 3)y^2 + (a^2 + 3)y + a^4 - 1 = (y - 1)^3 - a^2(y^2 - y - a^2)

mais bon tant qu'on n'en sait pas plus ...

Posté par
MatteoPalure : Équation avec paramètre 13-01-22 à 18:29

Les consignes sont :
1) Écrire le premier membre de cette équation comme un polynôme en fonction de a
2) décomposer ce polynôme en un produit de 3 facteurs
3) résoudre l'équation pour y

Posté par
lakere : Équation avec paramètre 13-01-22 à 19:47

Bonsoir Matteo Palu,

Tu postes ceci :

Citation :
1) Écrire le premier membre de cette équation comme un polynôme en fonction de a


Mais ton sujet parle de "premier membre d'une équation".
Il faut bien que tu aies 2 membres avec un signe "=" entre les deux.
Et tu postes ceci :

  
Citation :
y^3-(a^2+3)y^2+(a^2+3)y+a^4- 1


où je ne vois ni deux membres, ni signe "=" et encore moins une équation.

Pourrais-tu éclaircir la situation ?
  

Posté par
MatteoPalure : Équation avec paramètre 13-01-22 à 21:31

Je suis vraiment navré.
L'équation est celle ci :
y^3-(a^2+3)y^2+ (a^2+3)y+a^4-1=0

Posté par
lakere : Équation avec paramètre 13-01-22 à 21:47

Ah! Voici une équation.

1)    

Citation :
Écrire le premier membre de cette équation comme un polynôme en fonction de a
    
Ce n'est pas difficile : tu dois pouvoir le faire. Ça commence par a^4\cdots  
Normalement, tu obtiens une "bicarrée" en a du genre :

  a^4+(?)a^2+?=0 où les points d'interrogation dépendent de y

Lance toi !
                              

Posté par
lakere : Équation avec paramètre 13-01-22 à 21:50

Au fait, pense tout de même à modifier ton niveau dans tes "préférences". Ce n'est pas un exercice de seconde ...

Posté par
MatteoPalure : Équation avec paramètre 13-01-22 à 21:59

J'avais trouvé

a^4-a^2y(y-1)+(y-1)^3

Mais je bloque après.

Quel niveau est ce car j'ai reçu cette exercice alors que je suis en seconde.

Posté par
lakere : Équation avec paramètre 13-01-22 à 22:24

Quel niveau ? Terminale pour le moins. Je pense que nos pauvres bacheliers seraient bien sec avec ton exercice...

Citation :
J'avais trouvé

a^4-a^2y(y-1)+(y-1)^3



Excellent !

Maintenant, je vais lâcher du lest parce que je pense que la factorisation du 2) est difficile.

Ton équation est donc équivalente à P(a)=0  où :

  P(a)=a^4-(y^2-y)a^2+(y-1)^3

Ce que je vais écrire n'est qu'une solution de mon cru ; on peut aussi procéder autrement.
On remarque que y^2-y=(y-1)^2+(y-1)

D'où P(a)=a^4-[(y-1)^2+(y-1)]a^2+(y-1)^3

P(a)=a^4-Sa^2+P où \begin{cases}S=(y-1)^2+(y-1)\\P=(y-1)^3\end{cases}

  Ce qui signifie que les racines a^2 de ce polynôme sont (y-1)^2 et y-1

Donc que P(a)=[a^2-(y-1)^2](a^2-y+1)

ou encore P(a)=(a-y+1)(a+y-1)(a^2-y+1)

L'équation P(a)=0 équivalente à ton équation de départ est donc équivalente à :

   (a-y+1)(a+y-1)(a^2-y+1)=0

qui te permet de répondre immédiatement à 3).

Un peu filandreux j'en conviens

Posté par
carpediemre : Équation avec paramètre 13-01-22 à 22:38

ouais dans le cas présent le discriminant donne :

\Delta = (y^2 - y)^2 - 4(y - 1)^3 = (y - 1)^2 (y^2 - 4y + 4) = (y - 1)^2(y - 2)^2 ...

sinon :

4P(a) = 4a^4 - 4(y^2 - y)a^2 + 4(y - 1)^3 = [2a^2 - (y^2 - y)]^2 - (y^2 - y)^2 + 4(y - 1)^2 = [2a^2 - (y^2 - y)]^2 - (y - 1)^2(y^2 - 4y + 4) = [2a^2 - y^2 + y]^2 - (y - 1)^2(y - 2)^2 = ...


Posté par
MatteoPalure : Équation avec paramètre 13-01-22 à 22:54

Merci beaucoup pour votre aide et votre explication limpide.
Cordialement Matteo Palu

Posté par
carpediemre : Équation avec paramètre 14-01-22 à 00:05

de rien


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