équation avec parties entières

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équation avec parties entières
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flight  26-04-25 à 23:02
Bonsoir 

je vous propose l'exercice suivant , il s'agit de résoudre l'equation suivante :  E(x²-2x+1)= E(2x+1)  ou E est la partie entière et x dans R 
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Pirhore : équation avec parties entières  27-04-25 à 07:55
Bonjour,

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x={0;4}
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candide2re : équation avec parties entières  27-04-25 à 09:45
Bonjour,

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{0} U [1+sqrt(8) ; 1 + sqrt{10}]
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dpire : équation avec parties entières  27-04-25 à 10:04
Bonjoour,

Une réponse évidente x=0

Comme il s'agit des intersections d'une parabole avec une droite il y a certainement un autre point pivot.

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x=4 convient

Mais comme il s'agit de valeurs entières...

je dirai    3+2(2-1)

 <x< 5-2 (2-1)

soit environ  3.828 4<x<4.1716
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candide2re : équation avec parties entières  27-04-25 à 16:31
Petite correction :

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{0} U [1 + sqrt(8) ; 1 + sqrt(10)[
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flightre : équation avec parties entières  27-04-25 à 23:37
bonsoir candide2   , si je prend 1+8 3.828 et que je calcul E(x²-2x+1)  cela me donne E(7,997)=7    et pour le membre de droite E(2*3.828+1) = E(8.656)=8      ..il y a un petit souci ...
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dpire : équation avec parties entières  28-04-25 à 07:32
Bonjour,

Ayant trouvé la réponse pour le bas de la fourchette ,sans vérifier j'ai pensé que le haut était "symétrique" par rapport à 4.

La remarque de flight m'a poussé à voir la réponse de candide2 .

*Pour le bas nous avons la même valeur présentée différemment.

je pensais que c'était mieux de mettre  3+ quelque chose .

Par contre ma répons symétrique est lègèrement trop élevée et

le 1+10 4.162277660 est bonne si on soustrait 
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candide2re : équation avec parties entières  28-04-25 à 09:25
Bonjour,

Pas d'accord flight, il  ne faut pas faire des calculs avec des arrondis ...

Avec x = 1 + V8, on a :

x² - 2x + 1 = (1+V8)² - 2 - 2V8 + 1

= 1 + 8 + 2V8 - 2 - 2V8 + 1 = 8 

Soit donc E(x²-2x+1) = 8

Et on a : 2x + 1 = 3 + 2V8 = 8,65...

Soit donc E(2x+1) = 8 

Et donc E(x² - 2x + 1) = E(2x+1) pour x = 1+V8
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jandri re : équation avec parties entières  28-04-25 à 12:13
Bonjour,

pour  on a immédiatement 
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flightre : équation avec parties entières  29-04-25 à 17:54
Bonjour à tous , de mon coté j'etais parti sur la résolution 

de |x²-2x+1 - (2x+1)| < 1   soit  |x²-4x| < 1   et du coup je n'ai pas les mêmes intervalles de solutions ......
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flightre : équation avec parties entières  29-04-25 à 17:59
ce que je ecris n'est pas sytematiquement vrai ..... je retire ce que j'ai dis 
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dpire : équation avec parties entières  30-04-25 à 08:45
Une démo :

*   sans valeur entière  :  x²-2x+1=2x+1--->(0;4)

*      oublions 0 et observons  x=4---->solution   9

*les valeurs entières encadrant 9 sont 8 et 10

pour le premier membre  nous avons donc (x-1)²=8--

>x1=8+1

pour le second membre nous avons  (x-1)²=10-->x2=10+1.

toutes les valeurs comprises entre les deux conviennent.
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candide2re : équation avec parties entières  30-04-25 à 10:13
Bonjour,

A partir de E(x²-2x+1)

On montre que les "commutations" (changements de valeurs) se font pour x = 1 + sqrt(n)  

On a E(x²-2x+1) = n pour 1 + sqrt(n) <= x < 1 + sqrt(n+1)

Alors que pour E(2x+1), on a : E(2x+1) = n pour (n-1)/2 <= x < n/2

C'est de là qu'on part pour arriver à l'intervalle solution [1+V8 ; 1+V10[ ... sans oublier la solution triviale x = 0.