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equation avec racine cubique

Posté par
Boyae 13-09-19 à 19:35

bonjour ! c'est ma premiere fois entrain de resoudre ce type d'equation et je demande quelques astuces Merci !
\sqrt[3]{1-x}-\sqrt[3]{1-2x}-\sqrt{x} = 0
Merci bcp !

Posté par
gerrebare : equation avec racine cubique 13-09-19 à 20:03

Bonsoir,
En tout cas ,il y a une solution simple...

Posté par
Boyaere : equation avec racine cubique 13-09-19 à 20:04

oui j ai recherché la courbe sur google et les solution sont 0 , 1/2, et 1 mais j ai pas  trouve une methode pour arriver a cette conclusion

Posté par
gerrebare : equation avec racine cubique 13-09-19 à 20:09

1/2 et  1 ? ...

Posté par
carpediemre : equation avec racine cubique 13-09-19 à 20:20

salut

\sqrt[3] {1 - x} - \sqrt[3] {1 - 2x} = \sqrt x

élever au cube ...

Posté par
alb12re : equation avec racine cubique 13-09-19 à 21:46

salut,
peux tu donner le contexte de cet exercice ?

Posté par
mathafou Moderateurre : equation avec racine cubique 13-09-19 à 22:16

Bonjour,

0 et 1 ok
mais 1/2 certainement pas ...
≈ 0.5 peut être (entre 0.4996 et 0.4997)

je doute qu'une élévation au cube aboutisse à grand chose à cause des termes en a² et b² du développement de (a-b)3

une recherche de valeur approchée de la solution x0 voisine de 1/2 par Newton se heurte à une difficulté pratique :
en 1/2 la tangente est verticale
(elle ne l'est pas tout à fait en x0 mais il faut être très près de x0 pour que Newton ne passe pas "de l'autre côté" par des sauts erratiques)
la dichotomie marche sans encombres par contre.

Posté par
gerrebare : equation avec racine cubique 13-09-19 à 22:32

1 ne convient pas

Posté par
mathafou Moderateurre : equation avec racine cubique 13-09-19 à 22:45

si

(enfin ça dépend de ce qu'on appelle racine cubique : pour moi \sqrt[3]{-1} = -1)

la courbe de f(x) :

equation avec racine cubique

Posté par
carpediemre : equation avec racine cubique 13-09-19 à 23:19

posons a = \sqrt[3] {1 - x}  et b = \sqrt[3] {1 - 2x}

on a donc a - b = \sqrt x avec évidemment x \ge 0

donc a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = x \sqrt x \iff x - 3ab \sqrt x = x \sqrt x

on peut donc factoriser par \sqrt x ce qui conduira à x = 0 (solution évidente)

pour x > 0 il reste alors 3ab = \sqrt x - x

on élève à nouveau au cube ... soit donc :

27(1 - x)(1 - 2x) = x \sqrt x (1 - 3\sqrt x + 3x - x \sqrt x) \iff 27 - 81x + 54x^2 = x \sqrt x - 3x^2 + 3x^2 \sqrt x - x^3

ouais bof ...


peut-être regarder alors du côté : a - b = \sqrt {a^3 - b^3}

Posté par
mathafou Moderateurre : equation avec racine cubique 13-09-19 à 23:42

mouais ... le degré bien trop élevé de l'équation polynomiale (en \sqrt{x}) obtenue tout à la fin est effectivement décourageant...

la tête de la dérivée pour étudier les variations et le TVI pour connaitre déja le simple nombre de solutions n'est pas tellement plus encourageant non plus...

Posté par
carpediemre : equation avec racine cubique 13-09-19 à 23:55

ouais ...

on peut aussi écrire ma troisième ligne en

a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = x(a - b)

à nouveau on "factorise" par a - b

et a - b = 0 donne toujours x = 0

puis il reste a^2 + ab + b^2 - 3ab =x \iff x = (a - b)^2 ... et donc on tourne en rond ...

Posté par
Boyaere : equation avec racine cubique 14-09-19 à 11:06

oui j ai meme recherche une methode sur symbolab , le programme du site change les variables pour simplifier mais çela  le complique  

Posté par
mathafou Moderateurre : equation avec racine cubique 14-09-19 à 11:55

je doute qu'on arrive à quoi que ce soit par des méthodes algébriques
ça se terminera toujours à mon avis par une résolution approchée (par dichotomie ou du même genre) pour la solution voisine de 1/2

rappel : la résolution des équations algébriques (polynomiales) de degré > 4 est généralement impossible "par radicaux", c'est à dire qu'il n'existe aucune formule générale pour les résoudre.
non pas parce que on n'en connait pas mais parce qu'on (Galois et compagnie) a prouvé qu'il n'y en avait pas.
cela n'empêche pas des cas particuliers... je parle de formules générales comme pour les équations du second degré, du 3ème degré (Cardan ou autres) et du 4ème degré (Ferrari ou autres)

évidement on peut avoir un bol du genre monstrueux et tomber justement dans un tel cas particulier (après tout on a déja les solutions évidentes x =0 et 1, donc on diminue le degré de 2, et c'est toujours ça de gagné)
et comme il n'y a "visiblement " que ces trois solutions, toutes les autres si elles existent sont soit des solutions ajoutées (lors d'une élévation au carré on ajoute des solutions qui n'en sont pas) soit des solutions imaginaires qui ne vont pas nous apporter grand chose ...

Posté par
gerrebare : equation avec racine cubique 14-09-19 à 12:44

Bonjour,
Je suppose que dans l'esprit du texte racine cubique correspondait à puissance (1/3).
D'où 0<=x<=1/2. Ce qui ne change rien pour la résolution....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation avec racine cubique 14-09-19 à 14:13

Bonjour,

Citation :
les solution sont 0 , 1/2, et 1
Oui avec que des racines cubiques, même pour la dernière...
Ce ne serait pas la première fois qu'un énoncé aurait été mal recopié...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation avec racine cubique 14-09-19 à 14:21

Et là, en élevant au cube, ça marche tout seul \;

Posté par
mathafou Moderateurre : equation avec racine cubique 14-09-19 à 14:34

Posté par
carpediemre : equation avec racine cubique 14-09-19 à 15:10

la racine cubique est définie sur R telle qu'on l'utilise ici ... il me semble ...

ça frite entre les oranges ??

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation avec racine cubique 14-09-19 à 15:21

Non, ça ne frite pas entre nous, mais contre ceux qui ne savent pas recopier un énoncé !

Citation :
\sqrt[3] {1 - x} - \sqrt[3] {1 - 2x} = \sqrt[3] x

élever au cube ...
J'ai rajouté un 3 au dessus de la racine de droite, et
Citation :
ça marche tout seul

Posté par
carpediemre : equation avec racine cubique 14-09-19 à 15:51

ha pardon !!!

ha oui ok !!!


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