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Equation, avec racines carrées

Posté par jekif (invité) 20-10-04 à 19:30

Bonjour à tous,

je ne vais plus à l'école depuis longtemps. En fait j'ai un problème à résoudre :

Trouvez tous les entiers a et b tels que la différence de leur carré soit égale à 255.

Donc je fais a^2 - b^2 = 255
soit a = rc(255 + b^2)      (rc = racine carrée)

mais là, je bloque, je ne parviens pas à trouver une solution pour ce problème.

Si quelqu'un connait une solution, je serais ravi qu'il me la communique car c'est très urg..t !

Merci d'avance

Posté par minotaure (invité)re : Equation, avec racines carrées 20-10-04 à 19:47

salut
le mieux utilise l'identite remarquable a^2-b^2=(a-b)*(a+b).
a^2-b^2=255
donc (a-b)*(a+b)=255


255=256-1=16^2-1=(16-1)*(16+1)=15*17
oh joie 15 et 17 sont des nombres premiers.
donc a-b=15 et a+b=17
ou   a-b=17 et a+b=15
ou   a-b=255 et a+b=1
ou   a-b=1   et a+b=255
on veut des entiers a et b donc a>0 et b>0
si a-b=15 et a+b=17 => a=16 et b=1 OUI
si a-b=17 et a+b=15 => a=16 et b=-1 NON
si a-b=255 et a+b=1 => a=128 et b=-127 NON
si a-b=1 et a+b=255 => a=128 et b=127 OUI

conclusion : les solutions son les couples (a,b) suivants : (16,1),(128,127)

a verifier...

Posté par Dasson (invité)re : Equation, avec racines carrées 20-10-04 à 19:53

Bonjour,
a²-b²=(a+b)(a-b)
On peut poser u=a+b et v=a-b
a=(u+v)/2 et b=(u-v)/2
Les diviseurs de 255 : 1;3;5;15;17;51;85;255
A u=17 et v=15 correspondent a =16 et b=1
A u=51 et v=5 correspondent a =28 et b=23
A u=85 et v=3 correspondent a =44 et b=41
A u=255 et v=1 correspondent a =128 et b=127
A vérifier...

Posté par minotaure (invité)re : Equation, avec racines carrées 20-10-04 à 21:34

argh!!!
j'ai fait une erreur et de taille : 15 n'est pas premier.
255=3*5*17
comme a>0 et b> a+b>a-b

donc les cas a etudier sont:
a+b=17 et a-b=3*5=15
a+b=3*17=51 et a-b=5
a+b=5*17=85 et a-b=3
a+b=3*5*17=255 et a-b=1
par des calculs on obtient comme solution (16,1),(28,23),(44,41),(128,127).
voila en esperant qu'il n'a pas d'autres erreur ou solution.
bye



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