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Equation bicarée à deux inconnues

Posté par
AirFxOnz 03-05-21 à 02:22

Bonsoir,

Cela fait maitenant plusieurs heures que je m'acharne sur un exercice de mathématiques.
Je dois résoudre l'équation suivante : x^4 + 8y^2 + 425 = y^4 + 42x^2.
Plus précisément, il faut que je trouve toutes les solutions entières possibles.
En résolvant séparément x^4 - 42x^2 +425 = 0  et   y^4 - 8y^2 = 0 je trouve un couple de solutions que je peux décliner en plusieurs couples. J'ai donc :
x = 0 et y = -5  /  x=0 et y =5  /  x=5 et y=0  /  x=-5 et y = 0

Néanmoins, en vérifiant sur un site de résolution en ligne (dcode), on me donne 16 couples de solutions entières qui fonctionnent.

J'ai essayé d'exprimer x en fonction de y et inversement, de faire des changement de variables tels que X=x^4 et Y=y^4 mais rien ne fonctionne.

J'espère que vous pourrez me donner des pistes de recherches pour continuer.

Merci d'avance

Guillaume, élève de première.

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 07:04

Bonjour,

une piste peut-être!

x^4-42 x^2+425=y^4-8 y^2

ensuite faire apparaître des expressions au carré de part et d'autre du signe égal

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 10:42

Bonjour et merci de votre aide,

est ce que je dois obtenir ceci ?

x²(x²-42)+425 = y²(y²-8)

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 10:48

non

x^4-42 x^2+425=(x-21)^2..

tu procèdes de la même façon dans le 2e membre

Posté par
mathafou Moderateurre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 10:51

Bonjour,

Citation :
des changement de variables tels que X=x^4 et Y=y^4

avec les termes en x^2 et en y^2 on se demande comment tu fais !!

tu voulais dire sans doute X = x^{\red 2} et Y =y^{\red 2} ...
(et donc x^4 = X^2 etc)

mais pour une fois les changements de variables compliquent au lieu de simplifier,
suis donc directement l'idée de Pirho, elle aboutit très bien sans aucun problème.

Posté par
mathafou Moderateurre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 10:54

PS
faute de frappe de Pirho : x^4-42 x^2+425=(x^{\red 2}-21)^2...

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 10:57

ah oui

merci mathafou

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 10:58

je ne comprends pas comment vous passez de x^4-42x²+425 à (x-21)²

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 10:59

désolé, ma page n'était pas actualisée je n'avais pas vu la correction apportée par mathafou

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:00

développe (x^2-21)^2 et tu verras ce qui manque

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:06

si je ne me trompe pas on a alors bien x^4-42x²+425 = (x²-21)²-16 ?

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:08

oui

fait la même chose dans le second membre

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:13

pour le second membre je trouve donc (y²-4)²-16

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:14

donc maintenant tu peux écrire une égalité simple

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:17

j'arrive donc à (x²-21)² = (y²-4)²

je dois donc résoudre les polynômes des deux côtés ?

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:18

tu pourrais écrire sous la forme a^2-b^2=0

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:24

j'ai donc (x²-21)²-(y²-4)²=0

je refactorise ensuite avec l'identité remarquable (a+b)(a-b) = a² - b²

j'ai donc (x²+y²-25)(x²-y²-17) = 0

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:26

oui donc c'est une "équation produit" nul à résoudre

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:29

je la résous sous la forme d'un système comme celui ci ?

x²+y²-25 = 0
x²-y²-17 = 0

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:29

ben oui comme d'habitude!

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:42

je trouve donc que x = sqrt(21) ou x = -sqrt(21) et y = 2 ou y = -2

le problème est que je dois trouver des solutions entières et y ne l'est pas.

Est ce que je me suis trompé dans mon calcul ?

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:45

faute  de frappe de ma part, x n'est pas une solution entière

Posté par
mathafou Moderateurre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:48

attention ce n'est pas un système à résoudre !!

ici les solutions seront les solutions de la première
et indépendamment les solutions de la seconde

A.B = 0 les solutions sont celles de A = 0
et aussi celles de B = 0
(A = 0 ou B = 0)

un système ce serait les valeurs qui sont en même temps solution des deux
(A = 0 et B = 0)

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 11:54

commebt dois-je résoudre cette équation si je n'utilise pas de système ?

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 12:00

pour la 1ère,par exemple, tu dois trouver les couples de valeurs dont la somme au carré = 25

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 12:00

la somme des carrés!!

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 12:21

Je dois donc y aller à tâtons en testant des valeurs ?
Car je ne vois pas comment résoudre par le calcul

Posté par
Pirhore : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 12:24

oui

Posté par
mathafou Moderateurre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 12:33

pour une somme de carrés aussi faible c'est le plus efficace
mais pas "à tâtons"
par essais systématiques (sous peine d'en oublier)...

Posté par
AirFxOnzre : Equation bicarée à deux inconnues 03-05-21 à 12:46

D'accord merci beaucoup pour votre aide


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