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equation bissectrice

Posté par Bubulle (invité) 18-06-06 à 15:41

Bonjour!

Voici mon problème:
Soit un repère orthonormé,d1 la droite d'équation x-y=0 et d2:y+2x=3.
Déterminer une des équations de la bissectrice de (d1,d2)

Il me semble qu'un vecteur directeur de la bissectrice s'obtient en sommant un vd de d1  (1;1) à un vd de d2 (-1;2)
soi u vd de bissectrice (0;3)
Après calculs,j'obtiens pour équation d'une bissectrice: x=1 (ou y=1 si autre vd)
Et pourtant cela ne se vérifie pas sur le graphique!Je ne vois pas où est mon erreur!

Peut être la trouverez vous!
Merci d'avance.

Edit Kaiser : smiley involontaire supprimé

Posté par
Fractal
re : equation bissectrice 18-06-06 à 15:43

Bonjour,
Sauf erreur, il faut sommer des vecteurs directeurs de d1 et d2 qui soient de même norme.
Essaye comme ca et vérifie, je ne suis pas totalement sûr de moi.

Fractal

Posté par
Tigweg Correcteur
re : equation bissectrice 18-06-06 à 15:53

Salut

En fait tu ne peux pas sommer n'importe quel vecteur directeur de d1 avec n'importe lequel e d2, il faut qu'ils aient même norme!
En effet si les normes de n1 et n2 sont égales, n1+n2 dirige la diagonale de tout losange ayant deux côtés dirigés par n1 et n2.
Or dans un losange, les diagonales sont axes de symetrie, en particulier des bissectrices.
En revanche, si n1 et n2 sont de normes differentes, n1 + n2 dirige la diagonale d'un parallelogramme, dont l'angle par rapport aux côtés dépend des longueurs des côtés: il n'y a donc aucune chance pour qu'en les choisissant au hasard tu tombes sur un vecteur directeur de la bissectrice.

Calcule donc les normes de tes deux vecteurs directeurs et multiplie celui qui a la norme la plus petite par le quotient des normes, tu obtiendras ainsi deux vecteurs de normes égales, et tu pourras enssuite procéder comme tu pensais .

Derniere remarque: Deux droites secantes données n'admettent pas une mais bien DEUX bissectrices, et elles sont perpendiculaires.(Dans un triangle, on parle d'ailleurs de bissectrices interieures et de bissectrices exterieures)
L'equation de la deuxieme est donc facile à obtenir sans refaire tous les calculs une deuxieme fois

Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteur
re : equation bissectrice 18-06-06 à 15:54

Lol désolé fractal, je n'avais pas vu ta réponse

Posté par
Fractal
re : equation bissectrice 18-06-06 à 15:55

Pas grave Tigweg, ca confirme bien ce que je pensais

Fractal

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : equation bissectrice 18-06-06 à 16:12


Autre vision, plus trigonométrique.

Dans un repère orthonormé de centre O...
Soit A sur l'axe des abscisses, différent de O.
Soit B n'importe où dans le premier quadrant (pour éviter d'avoir à introduire les angles orientés, etc...), mais différent de O.
On note \widehat{AOB}=\theta

On veut montrer que la bissectrice de l'angle \widehat{AOB} est dirigée par le vecteur \frac{1}{\left|\left|\vec{OA}\right|\right|}\vec{OA}+\frac{1}{\left|\left|\vec{OB}\right|\right|}\vec{OB}
c'est-à-dire que \frac{1}{\left|\left|\vec{OA}\right|\right|}\vec{OA}+\frac{1}{\left|\left|\vec{OB}\right|\right|}\vec{OB} est proportionnel à \left(\begin{array}{c}\cos\frac{\theta}{2}\\\sin\frac{\theta}{2}\end{array}\right)

Allons-y...

\begin{array}{rcl}
 \\ \frac{1}{\left|\left|\vec{OA}\right|\right|}\vec{OA}+\frac{1}{\left|\left|\vec{OB}\right|\right|}\vec{OB} & = & \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\\sin\theta\end{array}\right)\\
 \\ & = & \left(\begin{array}{c}1+\cos\theta\\\sin\theta\end{array}\right)\\
 \\ & = & 2\cos\frac{\theta}{2}\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{1+\cos\theta}{2\cos\frac{\theta}{2}}\\\frac{\sin\theta}{2\cos\frac{\theta}{2}}\end{array}\right)\\
 \\ \end{array}

Or
\begin{array}{rcl}
 \\ 1+\cos\theta & = & 2\cos^2\frac{\theta}{2}\\
 \\ \sin\theta & = & 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}
 \\ \end{array}

Donc
\begin{array}{rcl}
 \\ \frac{1}{\left|\left|\vec{OA}\right|\right|}\vec{OA}+\frac{1}{\left|\left|\vec{OB}\right|\right|}\vec{OB} & = & 2\cos\frac{\theta}{2}\cdot\left(\begin{array}{c}\cos\frac{\theta}{2}\\\sin\frac{\theta}{2}\end{array}\right)
 \\ \end{array}

CQFD

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par Bubulle (invité)re : equation bissectrice 18-06-06 à 19:11

MERCI!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : equation bissectrice 18-06-06 à 21:01

Mais je t'en prie!

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : equation bissectrice 19-06-06 à 01:45

Pour ma part, je t'en prie.



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