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équation cartésienne d'un plan

Posté par
sgu35
27-07-20 à 13:35

Bonjour,
j'ai une question concernant la représentation paramétrique d'un plan.
Le livre dit ceci :
Un sous-ensemble de l'espace est un plan si et seulement si il admet une équation cartésienne de la forme :
ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)\ne (0,0,0)
Examinons la réciproque :
Supposons (a,b,c)\ne (0,0,0)
Par exemple, a\ne 0.
Alors :
ax+by+cz+d=0 \Leftrightarrow \begin{cases}x=-\frac{b}{a} y-\frac{c}{a} z-\frac{d}{a} \\ y=y \\ z=z  \\ \end{cases} ((y,z)\in \R^2)
On reconnaît la représentation paramétrique d'un plan passant par B(-\frac{d}{a},0,0) et dirigé par \vec{u_1}(-\frac{b}{a},1,0) et \vec{u_2} (-\frac{c}{a},0,1)

Je me demande si on a le droit d'exprimer x, y et z par y et z.
Personnellement j'aurais mis
\begin{cases}x=-\frac{b}{a} t-\frac{c}{a} u-\frac{d}{a} \\ y=t \\ z=u  \\ \end{cases} ((t,u)\in \R^2)

Posté par
carpediem
re : équation cartésienne d'un plan 27-07-20 à 15:07

salut

ben oui on a toujours le droit ...

d'ailleurs pourquoi s'embêter à faire un changement de variable y = t et z = u inutile ...

tu peux faire la même chose dans le plan :

ax + by + c = 0 <=> y = -a/b x - c/b (si b <> 0) pour avoir l'équation réduite de la droite et on ne s'embête pas à rajouter x = x (qui est une tautologie donc toujours vraie)

on ne le fera que si on veut faire du paramétrique en écrivant :

y = -a/b x - c/b
x = x

Posté par
carpediem
re : équation cartésienne d'un plan 27-07-20 à 15:09

PS : on change de lettre pour y et z quand les fonctions y = f(t, u) et z = g(t, u) ne sont pas l'identités ...

Posté par
sgu35
re : équation cartésienne d'un plan 07-08-20 à 22:12

Citation :
ax + by + c = 0 <=> y = -a/b x - c/b (si b <> 0) pour avoir l'équation réduite de la droite et on ne s'embête pas à rajouter x = x (qui est une tautologie donc toujours vraie)

on ne le fera que si on veut faire du paramétrique en écrivant :

y = -a/b x - c/b
x = x

Je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire.
Dans un contexte paramétrique seulement, on ajoute x=x?

Posté par
sgu35
re : équation cartésienne d'un plan 07-08-20 à 22:13

Et quand fait-on du paramétrique?

Posté par
carpediem
re : équation cartésienne d'un plan 08-08-20 à 12:24

en paramétrique les coordonnées d'un point appartenant à une courbe dans le plan ou une surface dans l'espace sont données à l'aide de (parfois plusieurs) paramètres

mais à partir d'une équation cartésienne on obtient toujours trivialement une représentation paramétrique : il suffit d'exprimer une ou plusieurs des coordonnées à partir d'une ou plusieurs des autres coordonnées ...

à partir d'une équation cartésienne de droite on obtient la équation réduite et une représentation paramétrique trivialement comme je l'ai dit dans mon précédent msg ...

et on exprime toutes les coordonnées à partir d'un paramètre ... qui est l'une des coordonnées ... c'est pourquoi on ajoute x = x ...

Posté par
sgu35
re : équation cartésienne d'un plan 08-08-20 à 18:58

Tu as des exemples de représentation paramétrique exprimant plusieurs coordonnées à partir d'autres coordonnées?

Posté par
carpediem
re : équation cartésienne d'un plan 08-08-20 à 21:02

ben je pense qu'un sous-espace vectoriel de dimension k dans un espace vectoriel de dimension n convient ...

Posté par
sgu35
re : équation cartésienne d'un plan 08-08-20 à 21:10

Ok merci!

Posté par
carpediem
re : équation cartésienne d'un plan 08-08-20 à 21:30

de rien



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