soit (u,v) une base du plan directeur

et A(xa,ya,za) un point du plan affine

Dire qu'un point M(x,y,z) de l'espace apprtient au plan c'est
dire que vous pouvez écrire le vecteur AM dans la base (u,v).

donc que (AM,u,v) est un triplé de vecteurs liés entre eux.

donc det(AM,u,v)=0

comme AM a pour composantes (x-xa,y-ya,z-za)

le calcul du determinant: det(AM,u,v)=0

vous donnera l'équation cartésienne du plan en question.

voila je vous remercie.

Merci beaucoup d'avoir répondu à la question.
Pour être sûre d'avoir compris ton raisonnement, j'aurai voulu
savoir si tu as pris un point A et 2 vecteurs linéairement indépendants
(2 vecteurs sont linéaires et indépendants si l'un peut s'exprimer
comme un multiple de l'autre) u et v

désolée, j'ai posté le message un peu trop vite. je termine
l'explication.

On obtient le plan   si par A, on construit 2 segments
orientés parrallèles à u et v.

Merci d'avance

un plan est déterminé par " un point A et 2 vecteurs linéairement
indépendants u et v"

Si M est un point du plan alors les trois vecteurs: AM,u et v sont dépendants.

c-à-d det(AM,u,v)=0

en calculant ce déterminant vous trouvez l'équation du plan.

plusieurs cas peuvent se présenter:

1) le plan est défini par trois point A,B et C non alignés vous considérez
alors u=AB et v=AC et vous calculer:
det(AM,u,v)=0

2) le plan est défini par une droite (A,u) et un point B qui n'appartient
pas à cette droite. vous considérez v=AB et vous calculer:
det(AM,u,v)=0

voila je vous invite à traiter un cas pour voir

salut

Ce que tu dis ne répond pas vraiment à ma question car il faut enlever
les paramètres k1 et k2 de l'équation paramètrique que voici:
x= x0 +k1 l1 +k2 l2
          y = x0 +k1 m1 +k2 m2
           z = z0 +k1 n1 +k2 n2
Et à partir de cela, on nous demande de trouver l'équation cartésienne
d'un plan pour savoir si elle peut s'écrire sous la forme
d'un dféterminant par élimination de paramètre.
Merci d'avance  

bonjour vous revoila!

nous allons illustrer la cas par un exemple. Je crois qu'un dessin
vaut mieu que mille discours.

u=(1,2,-1)  et v=(-1,2,2)  et A= (1,1,1)  ; par exemple.

M appartient au plan P si et seulement si

det(AM,u,v)=0

     AM     u        v

|    x-1   1      -1  |
|                           |
|    y-1   2       2   | = 0
|                           |
|    z-1   -1      2   |

         |2     2|              |1    -1|            |1    -1|
(x-1)|-1   2 |  -(y-1)|-1   2 | +(z-1)|2     2 |=0

ssi
(x-1)(2*2-(-1)*2) -(y-1)(1*2-(-1)*(-1))+(z-1)(1*2-(-1)*2)=0

ssi

(x-1)(4+2) -(y-1)(2-1)+(z-1)(2+2)=0

ssi

6(x-1) -(y-1)+4(z-1)=0

ssi

6x-6 -y+1+4z-4=0

ssi

6x-y+4z=9  c'est l'équation du plan rechercée.

voila juste pour vérifier si vous avez retenu le procédé veuillez traiter
le cas suivant:

u=(2,-1,-1)  et v=(1,-1,2)  et A= (1,2,3)


bon courage

rebonjour

je crois que vous m'avez mal comprise. ce n'est pas un exercice
mais une démonstration où il faut à partir de l'équation paramétrique
du plan, enlever les paramètres et à partir de cela on nous demande
de trouver l'équation cartésienne du plan et si elle peut s'écrire
sous la forme d'un déterminant. Mon problème est de savoir comment
on enlève les paramètres pour pouvoir trouver l'équation cartésienne
et démontrer qu'elle peut s'écrire aussi sous forme de
déterminant.

Un grand merci

bonsoir quand même

je comprend maintenant ta question.

nous alons partir de vos équations que vous avez trouvées:
x= x0 +k1 l1 +k2 l2                (1)
y = x0 +k1 m1 +k2 m2           (2)
z = z0 +k1 n1 +k2 n2              (3)

à partir de l'équation (1) vous obtenez le paramètre k2:

k2=(x-xo-k1l1)/l2    ; si l2 est non nul.

vous remplacez k2 dans l'équation (2) et vous obtebez:

y= yo +k1m1+m2(x-xo-k1l1)/l2
  = yo +k1(m1-l1m2/l2) +m2x/l2-m2xo/l2.

et vous déduisez k1:

k1=(l2(y-yo)-m2x-m2xo)/(l2m1-l1m2)

vous remplacez k1 et k2 ainsi trouvés dans l'équation (3):

z = z0 +k1 n1 +k2 n2  
  = z0 +(l2(y-yo)-m2x-m2xo)/(l2m1-l1m2) n1 +n2(x-xo-l2(y-yo)-m2x-m2xo)/(l2m1-l1m2)
l1)/l2    

c'est une expression qui peut se simplifier encore. Vous voyez bien que
les paramètres k1 et k2 ne figurent plus dans cette équation qui
celle du plan en question.

simplifiez encore son expression.

voila j'espère que cette fois j'ai répondu à votre question.

bonsoir et bon courage

bonjour

j'ai un problème je ne vois pas ce que je peux simplifier. J'ai
essayé de mettre en évidence mais ça ne me mène à rien.

merci d'avance