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Equation cartésienne d'un sous-espace vectoriel
Bonjour,
Comment faire pour dégager l'équation cartésienne d'un sous-espace vectoriel F à partir des vecteurs qui sont générateurs de F.
Exemple u=(1, 1, 2, 4) v= (3, 0, 1, 2) et w = (-1, 1, 3, 2)
Merci d'avance.
David
Bonjour Dcamd
Dans cet exemple, on est dans un cas simple : on se trouve dans un espace de dimension 4 et on dispose de 3 vecteurs formant une famille libre (vérifie-le quand même) donc à quelle condition un vecteur (x,y,z,t) appartient-il à l'espace vectoriel engendré par u, v, et w ? (bref, à quelle condition 4 vecteurs d'un espace vectoriel de dimension 4 forment-ils une famille liée ?).
Il y a aussi le cas "embêtant" où l'on dispose de moins de vecteurs (par exemple, déterminer l'équation d'un plan dans espace de dimension 4). On pourra en discuter une fois que l'on aura traiter l'exemple que tu as donnés.
Kaiser
Bonjour Kaiser, c'est gentil de m'avoir répondu ! Je vais bientôt avoir un devoir sur table sur le Calcul matriciel, ça va m'aider !
Alors vérifions que ces trois vecteurs forment une famille libre. S'ils forment une famille libre alors :
u=(1, 1, 2, 4) v= (3, 0, 1, 2) et w = (-1, 1, 3, 2)
u +
v +
w = 0 
= = = 0
+ 3 - = 0
+ = 0
2 + + 3 = 0
4 + 2 + 2 = 0
(L2 -L1)
(L3 - 2 L1)
(L4 - 4 L1)
+ 3 - = 0
-3 + 2 = 0
-5 + 5 = 0
-10 + 6= 0
(L4 / 2 et L1 + L2)
+ = 0
-3 + 2 = 0
-5 + 5 = 0
-5 + 3 = 0
(L4 - L2)
+ = 0
-3 + 2 = 0
-5 + 5 = 0
-2 = 0 
= 0 = 0 = 0
Cette équation admet donc la solution triviale, la famille est libre.
A quelle condition un vecteur (x,y,z,t) appartient-il à l'espace vectoriel engendré par u, v, et w ? (bref, à quelle condition 4 vecteurs d'un espace vectoriel de dimension 4 forment-ils une famille liée ?).
La condition est que ce quatrième vecteur soit une combinaison linéaire des trois autres vecteurs.
+ 3 - = x
+ = y
2
+ + 3 = z
4
+ 2 + 2 = t
Ce que tu as fait pour montrer que c'est une famille libre semble juste mais si tu peux te passer d'introduire des constantes, fais-le. Plus précisément, montrer que cette famille est libre revient à montrer que le rang de cette famille de vecteurs vaut 3 et donc que le rang de la matrice suivante est égale à 3 :
et je suppose que tu as vu en cours comment calculer le rang d'une matrice, en effectuant des opérations sur les lignes et les colonnes pour obtenir une forme "échelonnée".
La condition est que ce quatrième vecteur soit une combinaison linéaire des trois autres vecteurs.
Encore une fois, si tu peux te passer d'introduire des inconnues, ne te gênes pas. En dimension finie n, pour savoir si n vecteurs sont liés, il faut calculer leur déterminant et montrer qu'il est nul.
Bon bien sûr, ici, on a un déterminant d'ordre 4 donc pour le calculer, il faut à nouveau effectuer des opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir une matrice triangulaire dont on peut calculer facilement le déterminant.
Kaiser
En fait, on a pas encore vu le déterminant même si j'ai vu par moi-même que c'était ad - bc pour un espace 
2. Par contre, j'ai bien vu le rang qui est inférieur ou égal au minimum de la dimension de l'espace de départ et de celui d'arrivée, par contre je ne sais pas trop comment le voir sur la matrice directement. (Je sais passer sous la forme échelonnée réduite)
Par contre, le professeur nous a dit (principalement à moi 
) de ne pas représenter les matrices de vecteurs en inversant le sens des colonnes et des lignes. C'est normal que tu l'aies organisée dans ce sens ou ça ne change rien ?
par contre je ne sais pas trop comment le voir sur la matrice directement. (Je sais passer sous la forme échelonnée réduite)
ah mais moi non plus, dans le cas général !
Il faut bel et bien passer par la forme échelonnée pour ça et cette forme échelonnée te donne directement le rang.
C'est normal que tu l'aies organisée dans ce sens ou ça ne change rien ?
ça ne change absolument rien car le rang d'une matrice est le même que celui de sa transposée mais bon, je pense qu'on peut se passer du déterminant. On va utiliser une méthode qui marche à tous les coups.
Dire que (x,y,z,t) appartient à l'espace engendré par u, v et w, c'est dire que le rang de la matrice suivante est égale à 3 :
Il suffit donc d'effectuer des opérations uniquement sur les lignes pour obtenir une forme échelonnée réduite de la matrice et l'équation apparaitrait d'elle-même (à la fin tu comprendras ce que je veux dire !
)
kaiser
Pour dessiner la matrice, c'est quoi la formule magique ? 
J'aboutis à cette matrice :
1 0 0 (3/5)z - (1/5) x
0 1 0 (1/5)x + (2/5)z - y
0 0 1 (3/5)z - (1/5)x - y
0 0 0 5t - 22z - 4x + 20y
J'ai pas tenté de la faire directement sur l'ordinateur, je fais pas mal d'erreur déjà sur feuille. J'ai essayé de ne pas en faire, j'espère que ça a marché lol
Ce serait donc la dernière équation qui caractérise l'espace...
Et il y a une ligne nulle (sauf l'équation) qui donnerait le rang ?
Pour dessiner la matrice, c'est quoi la formule magique ?
par exemple, pour écrire la matrice de 21h44, j'ai utilisé
\(\array{1&3&-1&x\\1&0&1&y\\2&1&3&z\\4&2&2&t}\)
les & servent de séparateurs et les \\ permettent de revenir à la ligne.
J'ai pas tenté de la faire directement sur l'ordinateur, je fais pas mal d'erreur déjà sur feuille. J'ai essayé de ne pas en faire, j'espère que ça a marché lol
je ne suis pas allé jusqu'au bout car ce n'était pas la peine mais à la dernière ligne, je crois que tu aurais du obtenir 2z et non 22z.
En espérant que tu n'aies fais que des opérations sur les lignes, on a que la réduite de la matrice de départ est le bloc formé par les 3 première colonnes.
Cette matrice est de rang 3 mais les 3 premiers vecteurs colonnes forment clairement une famille libre donc pour que cette matrice soit de rang 3, il faut et il suffit que la dernière colonne soit combinaison linéaire des 3 premières donc si et seulement si 5t - 2z - 4x + 20y=0 et voici l'équation de notre espace vectoriel.
Kaiser
sauf que si tu testes avec le vecteur u, ses coordonnées ne vérifient pas ton équation.
Kaiser
Donc elle est fausse ?
Si je peux te donner un petit conseil : essaie de ne pas faire apparaitre de fractions. Pour ce faire, tu peux très bien multiplier une ligne par un scalaire non nul, car ça ne changera pas le rang de la matrice.
Kaiser
Oui, merci pour le conseil.Je m'embrouille avec les systèmes, je suis pas encore 100% à l'aise.
Mais cette fois j'ai réussi et ça m'a pris moins de temps !
Et -4x-20y+2z+5t = 0
Pour u : -4 -20 + 4 + 20 =
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