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Equation cartésienne droite
Bonjour,
Je bloque sur trois questions d'un exo :
On considère le cercle C de centre O (2;3) et de rayon 
5.
1) Equation cartésienne du cercle ? -> (x-2)2+(y-3)2=5
2) Montrer que A (3;5) appartient au cercle C ? ->
(3-2)2+(5-3)2= 1+4 = 5
3) Montrer que tout droite, non verticale, qui passe par A admet a comme équation cartésienne :
(y-5) = a(x-3)
4) Donner les coordonnées de la projection orthogonale de O sur la droite d'équation (y-5) = a(x-3) en fonction de a.
5) En déduire l'équation de la tangente au cercle C en A.
Les deux premières, je pense les avoir réussi sans problème, par contre la 3ème je bloque complètement.
Je sais que A appartient au vecteur OA, mais il n'est dit nul part que la droite doit avoir comme vecteur directeur OA (ça limiterait les "formes" que peuvent prendre les droites qui passent par A).
Merci de votre aide !
Bonjour,
toute droite a pour équation réduite :
y = ax + b
si A(3;5) appartient à cette droite, alors
5 = 3a + b
effectuons la différence des 2 équations membre à membre
Bonjour, si M(x;y) un point de la droite et A(3;5), le coefficient directeur de la droite AM c'est par définition a = (y-5)/(x-3) et donc si à l'inverse on fixe a, l'équation de la droite sera bien a = (y-5)/(x-3) donc (y-5) = a(x-3) .
Sinon, plus naturellement, tu peux aussi dire que la droite a une équation réduite y = ax + b
que A(3;5) est sur la droite donc que 5 = 3a+b ou b = 5 -3a
l'équation de la droite devient y = ax + 5-3a 
y-5 = a(x-3)
Bonjour,
y = ax+b
5 = 3a+b
=> y - 5 = ax + b - 3a - b
=> y - 5 = a(x - 3)
Dans la question suivante, on cherche les coordonnées du projeté orthogonal de O, qu'on va appeler H.
O est le projeté de lui-même sur la droite d'équation (y-5) = 2(x-3), car :
O(2;3) -> (3-5)=a(2-3) <=> -2 = -a <=> a = 2
Pour les autres droites passant par A, il faut trouver H tel que le vecteur OH est perpendiculaire au vecteur directeur (u) de la droite.
vec(OH)•(u) = 0
Le point H appartient à la droite D tel que :
(yH - 5) = a(xH - 3)
<=> yH = a(xH - 3) + 5
Donc :
vec(OH) = ( xH - 2 ; a(xH - 3) + 2 )
Or, vec(OH)•(u) = 0, donc :
( X x ux ) + ( Y x uy ) = 0
avec X = xH - 2 et Y = a(xH - 3) + 2
<=> (xH - 2)ux = - (a(xH - 3) + 2)uy
J'ai développé cette expression, mais ça donne quelque chose qui est (à mon sens) pas très utile.
Je pourrais exprimer ux et uy en fonction de a, mais ça introduira d'autres inconnues.
Par exemple, si je pose AB vecteur directeur (u) de la droite, B appartient à la droite D tel que : yB - 5 = a(xB - 3), etc.
Du coup, je bloque à nouveau x)
Merci pour votre aide !
Tu connais le coefficient directeur de la droite (y-5) = a(x-3) , c'est a, donc celui de la droite OH c'est -1/a (parce que si deux droites sont perpendiculaires, le produit de leur coefficient directeur vaut -1).
la droite OH a donc une équation de la forme y = -x/a + b et on peut trouver facilement b en disant que O(2;3) est sur cette droite. on en déduit l'équation de OH et pour avoir les coordonnées de H, il suffit de faire l'intersection des deux droites (donc de résoudre le système formé des équations des deux droites)
Merci !
Du coup :
Equation de (OH) : y = 3 + (2-x)/a
Equation de (D) passant par A : y = a(x-3) + 5
Pour trouver les coordonnées en fonction de a de H, on résout le système d'équation des deux droites, donc :
3 + (2-x)/a = a(x-3) + 5 <=> ( a2(3-x) - 2a + 2 - x )/a = 0
-> a = 3-x
-> b = -2
-> c = 2-x
J'ai calculé le discriminant 
= -4x2 + 20x - 20
Je calcule le discriminant ' de ce nouveau trinôme :
' = 80
On obtient deux solutions x tels que x1 = (5-5) / 2
et x2 = (-5-5) / 2
Je ne sais pas comment interpréter ces résultats... ou bien je fais complètement fausse route ?
Merci encore.
Ok du coup, ça donne :
3 + (2 - x)/a = a(x - 3) + 5
2 - x = a2(x - 3) + 2a
- x - a2x = 2a - 3a2 - 2
x(- 1 - a2) = 2a - 3a2 - 2
x = (2a - 3a2 - 2) / (- 1 - a2)
Par conséquent,
y = a(x - 3) + 5
En remplaçant x par ce qu'on a trouvé au dessus, j'obtiens :
y = 5 + (2a2 + a) / (-1-a2)
Par contre, pour la toute dernière question, je n'ai aucune idée de comment "déduire" la tangente en A... merci encore pour votre aide !
On cherche une droite particulière qui passe par A (donc d'équation (y-5) = 2(x-3)) mais dont la projection orthogonale de O sur cette droite est A aussi.
Merci, du coup :
On cherche l'équation de la droite (OH) passant par A (3;5) :
y = 3 + (2 - x)/a -> 5 = 3 + (2 - 3)/a <=> a = 1/2
L'équation de la droite (OA) perpendiculaire à (D) est donc : y = 7 - 2x
Or, la tangente étant perpendiculaire au point A en (OA), on peut dire que son coefficient a = 1/2, donc :
y = 5 + a(x - 3) -> y = 5 + (x - 3)/2
L'équation de la tangente à C au point A : est y = 5 + (x - 3)/2.
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