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Equation cartésienne droite

Posté par
hemeth
20-04-19 à 10:43

Bonjour,
Je bloque sur trois questions d'un exo :

On considère le cercle C de centre O (2;3) et de rayon 5.
1) Equation cartésienne du cercle ? -> (x-2)2+(y-3)2=5
2) Montrer que A (3;5) appartient au cercle C ? ->
(3-2)2+(5-3)2= 1+4 = 5

3) Montrer que tout droite, non verticale, qui passe par A admet a comme équation cartésienne :
(y-5) = a(x-3)

4) Donner les coordonnées de la projection orthogonale de O sur la droite d'équation (y-5) = a(x-3) en fonction de a.
5) En déduire l'équation de la tangente au cercle C en A.

Les deux premières, je pense les avoir réussi sans problème, par contre la 3ème je bloque complètement.
Je sais que A appartient au vecteur OA, mais il n'est dit nul part que la droite doit avoir comme vecteur directeur OA (ça limiterait les "formes" que peuvent prendre les droites qui passent par A).

Merci de votre aide !

Posté par
Barney
re : Equation cartésienne droite 20-04-19 à 10:59

Bonjour,

toute droite a pour équation réduite :
y = ax + b
si A(3;5) appartient à cette droite, alors
5 = 3a + b

effectuons la différence des 2 équations membre à membre

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation cartésienne droite 20-04-19 à 11:01

Bonjour, si M(x;y) un point de la droite et A(3;5), le coefficient directeur de la droite AM c'est par définition a = (y-5)/(x-3) et donc si à l'inverse on fixe a, l'équation de la droite sera bien a = (y-5)/(x-3) donc (y-5) = a(x-3) .

Sinon, plus naturellement, tu peux aussi dire que la droite a une équation réduite y = ax + b
que A(3;5) est sur la droite donc que 5 = 3a+b ou b = 5 -3a
l'équation de la droite devient y = ax + 5-3a y-5 = a(x-3)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation cartésienne droite 20-04-19 à 11:02

ha trop tard, excuse moi Barney je vous laisse.

Posté par
Barney
re : Equation cartésienne droite 20-04-19 à 11:07

pas de soucis, jamais trop de 2;  bonjour Glapion  

Posté par
hemeth
re : Equation cartésienne droite 20-04-19 à 11:50

Bonjour,

y = ax+b
5 = 3a+b
=> y - 5 = ax + b - 3a - b
=> y - 5 = a(x - 3)

Dans la question suivante, on cherche les coordonnées du projeté orthogonal de O, qu'on va appeler H.
O est le projeté de lui-même sur la droite d'équation (y-5) = 2(x-3), car :
O(2;3) -> (3-5)=a(2-3) <=> -2 = -a <=> a = 2

Pour les autres droites passant par A, il faut trouver H tel que le vecteur OH est perpendiculaire au vecteur directeur (u) de la droite.
vec(OH)•(u) = 0

Le point H appartient à la droite D tel que :
(yH - 5) = a(xH - 3)
<=> yH = a(xH - 3) + 5
Donc :
vec(OH) = ( xH - 2     ;   a(xH - 3) + 2 )

Or, vec(OH)•(u) = 0, donc :
( X x ux ) + ( Y x uy ) = 0
avec X = xH - 2   et    Y = a(xH - 3) + 2
<=> (xH - 2)ux =  - (a(xH - 3) + 2)uy

J'ai développé cette expression, mais ça donne quelque chose qui est (à mon sens) pas très utile.

Je pourrais exprimer ux et uy en fonction de a, mais ça introduira d'autres inconnues.
Par exemple, si je pose AB vecteur directeur (u) de la droite, B appartient à la droite D tel que : yB - 5 = a(xB - 3), etc.

Du coup, je bloque à nouveau x)

Merci pour votre aide !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation cartésienne droite 20-04-19 à 12:36

Tu connais le coefficient directeur de la droite (y-5) = a(x-3) , c'est a, donc celui de la droite OH c'est -1/a (parce que si deux droites sont perpendiculaires, le produit de leur coefficient directeur vaut -1).

la droite OH a donc une équation de la forme y = -x/a + b et on peut trouver facilement b en disant que O(2;3) est sur cette droite. on en déduit l'équation de OH et pour avoir les coordonnées de H, il suffit de faire l'intersection des deux droites (donc de résoudre le système formé des équations des deux droites)

Posté par
hemeth
re : Equation cartésienne droite 20-04-19 à 17:10

Merci !

Du coup :
Equation de (OH) : y = 3 + (2-x)/a
Equation de (D) passant par A : y = a(x-3) + 5

Pour trouver les coordonnées en fonction de a de H, on résout le système d'équation des deux droites, donc :
3 + (2-x)/a = a(x-3) + 5   <=>   ( a2(3-x) - 2a + 2 - x )/a = 0
-> a = 3-x
-> b = -2
-> c = 2-x
J'ai calculé le discriminant = -4x2 + 20x - 20
Je calcule le discriminant ' de ce nouveau trinôme :
' = 80
On obtient deux solutions x tels que x1 = (5-5) / 2
et x2 = (-5-5) / 2
Je ne sais pas comment interpréter ces résultats... ou bien je fais complètement fausse route ?

Merci encore.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation cartésienne droite 20-04-19 à 18:42

Dans l'équation 3 + (2-x)/a = a(x-3) + 5 , c'est x (l'abscisse de H) que tu cherches pas a

Posté par
hemeth
re : Equation cartésienne droite 22-04-19 à 19:29

Ok du coup, ça donne :

3 + (2 - x)/a = a(x - 3) + 5

2 - x = a2(x - 3) + 2a
- x - a2x = 2a - 3a2 - 2
x(- 1 - a2) = 2a - 3a2 - 2
x = (2a - 3a2 - 2) / (- 1 - a2)

Par conséquent,
y = a(x - 3) + 5
En remplaçant x par ce qu'on a trouvé au dessus, j'obtiens :
y = 5 + (2a2 + a) / (-1-a2)

Par contre, pour la toute dernière question, je n'ai aucune idée de comment "déduire" la tangente en A... merci encore pour votre aide !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation cartésienne droite 22-04-19 à 22:23

On cherche une droite particulière qui passe par A (donc d'équation (y-5) = 2(x-3)) mais dont la projection orthogonale de O sur cette droite est A aussi.

Posté par
hemeth
re : Equation cartésienne droite 23-04-19 à 13:37

Merci, du coup :

On cherche l'équation de la droite (OH) passant par A (3;5) :
y = 3 + (2 - x)/a  ->  5 = 3 + (2 - 3)/a <=> a = 1/2
L'équation de la droite (OA) perpendiculaire à (D) est donc : y = 7 - 2x
Or, la tangente étant perpendiculaire au point A en (OA), on peut dire que son coefficient a = 1/2, donc :
y = 5 + a(x - 3)  ->  y = 5 + (x - 3)/2

L'équation de la tangente à C au point A : est y = 5 + (x - 3)/2.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation cartésienne droite 23-04-19 à 14:04

toujours vérifier avec geogebra
Equation cartésienne droite

ça n'a pas l'air d'être du tout ça. OA c'est y = 2x-1

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