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Équation complexe

Posté par
sterben
20-07-17 à 11:03

Résoudre dans l'équation (E): z²-2*(conjugué de z)  +1=0

Bonjour je poste ce sujet car je ne sais pas comment poursuivre mes calculs.
J'ai commencé par mettre z sous sa forme algébrique.
(x+iy)² -2(x-iy) +1=0
x²+2xiy-y²-2x+2iy+1=0
x²-y²-2x+1   +i(2xy+2y)=0
Après on sait que pour un nombre complexe nul on a sa partie réelle et imaginaire qui le sont aussi donc:
x²-y²-2x+1= 0  ou 2xy+2y= 0 x²-y²-2x+1=0 ou 2y=0 ou x+1 =0
Ensuite je ne sais pas trop comment avancer , je suis surtout bloquer avec la première expression "x²-y²-2x+1= 0 "
Merci pour votre aide

Posté par
malou Webmaster
re : Équation complexe 20-07-17 à 11:08

Bonjour
x²-y²-2x+1= 0 ou 2xy+2y= 0
ce n'est pas ou, mais et
ça change tout !

Posté par
sterben
re : Équation complexe 20-07-17 à 12:32

ah je vois , dans ce cas les solutions que je trouve pour l'équation 2xy+2y= 0  doivent également fonctionner pour x²-y²-2x+1= 0
De fait je n'ai qu'a résoudre une équation sur deux et appliquer les solutions de cette dernière(2xy+2y= 0) dans la première(x²-y²-2x+1= 0 )?

Posté par
sterben
re : Équation complexe 20-07-17 à 12:43

avec les "et" et "ou" ça me semble compliqué à écrire.
Je ne sais pas comment rédiger la résolution de cette équation.

Peut être faut il faire : x²-y²-2x+1=0 et 2y=0 ou x+1 =0
  x²-y²-2x+1=0 et y=0 ou x= -1
x²-2x+1=0 ou -y²+4=0 et y=0 ou x= -1
x=1 ou y=2 ou y =-2 et y=0 ou x= -1
Finalement l'ensemble de solutions est x= -1;1 et y =-2;0 ;2 . Pouvez vous confirmer?
Merci!

Posté par
sterben
re : Équation complexe 20-07-17 à 12:46

pardon je me suis trompé , les solutions pour y sont S= -2;0;2
et comme ce sont des nombres complexes , je crois qu'il faut écrire
z= 1   z= -1  -2i  z= -1+2i

Posté par
malou Webmaster
re : Équation complexe 20-07-17 à 13:03

pour rédiger (je n'ai pas vérifié tes calculs)

x²-y²-2x+1= 0 et 2xy+2y= 0
x²-y²-2x+1= 0 et y(x+1)=0
ce qui te donne
[ x²-y²-2x+1= 0 et y=0] ou [x²-y²-2x+1= 0 et (x+1)=0]
[ x²-2x+1= 0 et y=0] ou [1-y²+2+1= 0 et (x+1)=0]
etc...
je ne vois pas d'où tu sors tes solutions


OK ?

Posté par
sterben
re : Équation complexe 20-07-17 à 13:30

ok j'ai compris , j'ai mis le bon enchaînement de calculs mais avec les mauvais connecteurs.

Posté par
carpediem
re : Équation complexe 20-07-17 à 16:30

salut

en notant z* le conjugué de z

z^2 - 2z^* + 1 = 0 \iff z^*^2 - 2z + 1 = 0

par soustraction z^2 - z^*^2 - 2(z^* - z) = 0 \iff (z + z^*)(z - z^*) + 2(z - z^*) = 0 \iff ...

finir et et vérifier ...

Posté par
nadiasoeur123
re : Équation complexe 20-07-17 à 23:34

Bonsoir ;

Je pense que tu étais tout près du but :

sterben @ 20-07-2017 à 11:03

Résoudre dans l'équation (E): z²-2*(conjugué de z)  +1=0

Bonjour je poste ce sujet car je ne sais pas comment poursuivre mes calculs.
J'ai commencé par mettre z sous sa forme algébrique.
(x+iy)² -2(x-iy) +1=0
x²+2xiy-y²-2x+2iy+1=0
x²-y²-2x+1   +i(2xy+2y)=0
Après on sait que pour un nombre complexe nul on a sa partie réelle et imaginaire qui le sont aussi donc:
x²-y²-2x+1= 0  et 2xy+2y= 0 x²-y²-2x+1=0 et (2y=0 ou x+1 =0 ) \red \Leftrightarrow ((x-1)^2 - y^2=0) \quad et \quad (y=0 \quad ou \quad x=-1)
 \red \Leftrightarrow (y=0 \quad et \quad (x-1)^2 - y^2=0) \quad ou \quad (x=-1 \quad et \quad (x-1)^2 - y^2=0)
 \red \Leftrightarrow (y=0 \quad et \quad (x-1)^2 =0) \quad ou \quad (x=-1 \quad et \quad 4 - y^2=0)


Je pense que tu peux conclure maintenant .



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