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Niveau Maths sup
équation complexes et démonstration
Posté par lilo78
Bonsoir
Bon j'ai un peu honte parce que ça fait quand même le deuxième topic que je poste en moins de deux semaines alors je m'excuse de squatter autant le forum !
Voici l'énoncé de l'exercice
Soient a et b deux nombres complexes non nuls. On considère l'équation d'inconnue z dans C : (E) z² +az +b = 0.On note z1 et z2 les racines de (E).
1.a) On suppose que z1 et z2 ont les mêmes arguments.
Montrer qu'il existe un réel k tel que: 0 < k 
1/4 et b = ka².
b) Réciproquement on suppose que b= ka², k 
, 0< k 1/4.Montrer que z1 et z2 ont les mêmes arguments.
2) Montrer que |z1|=|z2|=1 
|b|=1,|a| 2 et Arg b = 2Arg a [2 
].
Alors j'ai réussi la 1.a)en disant que si z1 et z2 sont les racines de (E) alors z1 + z2 = -a et z1 x z2 = b etc...
Je trouve k = (|z1| |z2|) / ( |z1| + |z2| )² qui est forcément positif et pour montrer qu'il est inférieur à 1/4 je calcule la différence et remarque qu'elle est négatif.
Par contre je bloque pour le b.je sus reparti de z1 + z2 = -a et z1 x z2 = b et j'ai remplacé tout ça dans b = ka² mais je bloque j'obtiens z1 x z2 = k(z1² + 2z1z2 +
z2².
et j'avoue que j'ai à peine regarder le 2 mais je suppose qu'il faut résoudre le 1.b pour le démontrer.
Merci d'avance de votre aide.
Bonsoir,
Ben tu es pas loin.
Tu arrive a
Pose u=z_1/z_2 et divise tout par z_1z_2, tu va trouver u+1/u=1/k-2, en multipliant par u, on se ramène a une équation de second degré qui a un discriminant positif dans le cas que tu considère ce qui signifie que u est réel et donc que z_1 et z_2 ont meme argument.
je ne comprends pas pourquoi si le discriminant est positif alors forcément u est un réel et je comprends pas pourqoi si u est un rée alors z_1 et z_2 ont le même argument ???
J'ai trouvé le discriminant j'ai trouvé qu'il était compris entre 3/4 et 1 donc il est positif mais je ne comprends pas ce que tu me dit ensuite.
Merci de ton aide.
Bon ton équation c'est u²+1=1/k-2. Le discriminant c'est 1/k(1/k-1/4) qui est donc positif. Donc u c'est racine du discriminant bla bla, qui est un réel...
Or u=z1/z_2 écrit z1, z_2 sous la forme exponetielle et tu verra que z_1 et z_2 ont meme argument ssi u est reel.
je suis désolée j'ai bon y mettre toute la volonté du monde jmais je ne comprends vraiment rien "u c'est racine du discriminant" ????
Ben une fois que tu_ as calculé le discriminant tu connais les racines non?
Ca te dit qqch?non?
Ici b=1/k-2 et a =1...mais ca n'a pas grande importance de connaitre la valeur exacte de u du moment qu'on sait qu'il est réel...
oui ça j'ai compris mais après comment t'arriven à en déduire que z_1 et z_2 ont le mçeme argument.
Je voulais aussi te dir que je n'obtient pas la même équation que toi mais je trouve les mêmes résultats et conclusion.
Merci de m'aider et dsl de mettre autant de temps à comprendre.
Mais y a aucun souci...au moins ensuite tu auras bien compris 
Donc si l'agument de z_1/z_2 c'est donc theta_1-theta_2. Si theta_1=theta_2 (mod 2pi) alors z_1/z_2 est réel et réciproquement...
Non c'etait juste pour ecrire plsu rapidemet, je note r_1 le module de z_1 et r_2 celui de z_2 et je note theta_1 largument de z_1 et theta_2 celui de z_2. C'est juste pou ecrire ca plus vite que j'ai mit un double indice...
bon d'accord j'ai compris que theta 1 et theta 2 étient les arguments de z1 et z2 mais je comprends toujours pas pourquoi si z1/z2 est un réel alors forcément les arguments de ceux ci sont égaux ?
Ben relis ce que j'ai ecris l'argumet de z_1/z_2 c'est theta_1-theta_2...
Donc ce nomre est réel ssi theta_1=theta_2 (mod 2pi)
bon j'ai à peu près compris enfin je suis pas sûr parce que j'ai simplement admis le fait que si z1/z2 est un réel alors leurs arguments sont égaux sans vrt trop comprendre jvais essayer de faire le 2. mais bon...
dsl mais t'aurai pas une piste pour le 2 juste histoire de me lancer même si je trouve pas j'aurai au moins essayer.
Désolé de t'avoir déranger.
Merci de ton aide.
Bon attends faut bien comprendre d'argument egaus si z_1/z_2 réel...
l'argume t de z_1 c'est t1 et celui de t_2, ils on le meme argument si t1=t2 mod 2pi, ok?
Maintenant l'argument de z_1/z_2 c'est t_1-t_2, ok?
Donc si t_1-t_2=0(mod 2pi) (c'est a dire que z_1 et z_2 ont meme argument) alors argument de z_1/Z_2=0 et donc z_1/z_2 est réel. Est ce que tu vois comment faire la reciproque?