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Equation d un plan

Posté par tht (invité) 26-06-05 à 12:09

Re-Hello,

Comment trouver l'équation d'un plan P' passant par un point P(2,3,4) et perpendic aux plans P1=2x-y+2z-8=0 et P2=x+2y-3z+7=0???

Je me dis qu'un vecteur normal à P1 est n1(2,-1,2) et pour P2 : n2(1,2,-3).
==> AB=n1 est une droite du plan P' recherché
==> CD=n2 est une droite du plan P' recherché

Ensuite produit vectoriel on à une normale au plan recherché et un point et le problème est résolut mais n'en suis pas certain??

Merci de votre attention et réflexion.

Posté par
Nightmare
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:14

Re

Il faut :
1)Déterminer deux vecteurs normaux à P1 et P2 et calculer leur produit vectoriel (ça tu l'as fait)
2)montrer que P1 et P2 ne sont pas parallèles
3)montrer que le produit vectoriel des deux vecteurs normaux est un vecteur directeur de l'intersection de P1 et P2
4)déterminer l'équation de P' vérifiant :
\rm \vec{PM}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=0


Jord

Posté par
lyonnais
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:17

salut tht : ):

ta réflexion me semble parfaite ( mais je peux me tromper )

produit vectoriel, on trouve : \vec{n} (-1;8;5)

la plan est donc du type : -x+8y+5z+d=0

P(2;3;4) au plan donc ses coordonnées vérifis le plan :

-2+24+20+d=0   <=>  d = -42

on obtient donc le plan d'équation :

3$ \magenta \fbox{-x+8y-5z-42=0}

sauf erreur ...

Posté par
lyonnais
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:20

ce qui veut dire que je viens de tapper une horible bétise Jord c'est ça ?

Désolé tht si c'est le cas, mais je ne maîtrise pas le produit vectoriel, je pensais qu'en faisant le produit vectoriel, on trouvait directement un vecteur normal au plan ...

Suis les conseils de Jord, ça vaut mieux lol

@+

Posté par
Nightmare
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:23

Non non ce que tu as fait est bon aussi .

D'ailleur mon étape 3) est inutile , on peut la sauter


Jord

Posté par
lyonnais
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:24

ok merci, je comprend mieux maintenant

@+

Posté par tht (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:33

Pour le lyonnais ta sol est presque bonne mais sauf que la sol correcte est x-8y-5z+42=0

Pour Nightmare je ne suit pas trop bien :

1) Comment montrer que P1 et P2 ne sont pas parallèles?

2) Comment montrer que le produit vectoriel des deux vecteurs normaux est un vecteur directeur de l'intersection de P1 et P2

4)Comment déterminer l'équation de P' vérifiant : PM .(U x V)=0

j'ai décroché quelque part...

Posté par
Nightmare
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:36

Re

1) En montrant que leur vecteurs normaux ne sont pas colinéaires

2) Pas besoin , laisse tomber

4) Eh bien ce n'est pas dur , tu sais calculer le produit vectoriel de deux vecteurs non ? Ensuite tu calcules le produit scalaire de \vec{PM} (en posant M(x;y)) et du produit vectoriel et tu obtiendras une équation de ton plan


Jord

Posté par
lyonnais
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:39

Re

pourquoi est-ce x-8y-5z+42=0   et non ce que je t'ai dis ?  Pourtant en faisant les calculs, on trouve d = -42 !

1°) pour prouver que P1 et P2 ne sont pas parllèles il faut que leurs vecteurs normaux respectifs ne soient pas colinéiares.

ici avec n1(2;-1;2)  et  n2(1;2;-3) , on s'apperçoit que n1k*n2 avec k R , les plans ne sont donc pas parallèles.

2°) et 4°) : je laisse à Jord le soin de t'expliquer lol

@+

Posté par tht (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:39

Ok Nightmare, mais comment vérifie t on la colinéarité je ne m'en souvins plus???


Merci beaucoup à toi et au lyonnais!!!

Posté par
Nightmare
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:42

Je dois vous laisser , l'orage gronde trés prés de chez moi et mon écran sature alors si je veux pas cramer mon ordi je ferais mieux de l'éteindre

A bientot


Jord

Posté par Shadyfj (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:43

lyonnais c'est juste que tu asreporté -5 au lieu de +5 (regarde ton post)
ensuite c'est la même équation (enfin au signe près)

Posté par Shadyfj (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:44

colinéarité: le produit vectoriel est nul tht

Posté par
lyonnais
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:45

Ici en fait on peut faire une système avec les vecteurs normaux :

3$ \{{ 2=t\time 1 \\ -1=t\time 2 \\ 2=t\time (-3)  <=>  3$ \{{ t=2 \\ t=-\frac{1}{2} \\ t=-\frac{2}{3}

pour que les deux vecteurs normaux soient colinéaires, il faut que t soit le même à chaque fois. ici, on a 3 valeurs différentes de t , donc ils ne sont pas colinéaires, les plans ne sont donc pas paralèlles.

PS : merci Shadyfj : encore une malheureuse faute de frappe

@+

Posté par tht (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:54

ok merci a tous!!! bon app!

Posté par
lyonnais
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:56

>> tht :

en fait, ma solution est la même que la tienne puisqu'en rectifiant ma faute de frappe, j'obtient comme équation de plan :

3$ \magenta \fbox{-x+8y+5z-42=0}

qui correspond a ton équation de plan multipliée par -1

Ce qui nous donne bien :

3$ \blue \fbox{x-8y-5z+42=0}

@+

Posté par
lyonnais
re : Equation d un plan 26-06-05 à 12:58

de rien

et bonne aprèm a toi aussi

PS : Nightmare : comme quoi quand on critique la bretagne parce qu'il pleut trop souvent, on généralise : la preuve, il y a un soleil radieux ici.

@+ sur l'
lyonnais

Posté par tht (invité)2 nouveau problèmes... 26-06-05 à 17:43

Hello,

J'ai fais quelques exos car j'ai examen ce mercredi, et je calle sur deux  prob mais là je vois même pas par où commencer

1) Trouver l'équation du plan PI, perpendiculaire au plan PI1=2x+3y-5z-6=0 passant par les points P(2,-1,-1) et Q(1,2,3)????????

2) Trouver l'équation du plan PI, passant par le point P(1,-2,3) et // aux droites d1= (2,1,-1) et d2=(3,6,-2)

On peut dire que :
PI=A(x-1)+B(y+2)+C(z-3)=0 heuuu

Si l'un d'entre vous à des pistes merci!!

Posté par Shadyfj (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 18:02

alors pour le premier exo ton plan a pour équation ax+by+cz+d=0
(a,b,c) est un vecteur normal à ce plan
on a (a,b,c).(2,3,-5)=0
et en remplaçant dans l'équation les coordonnées de P et Q ça te donne 2 autres équations
tu appliques le pivot de gauss...
en choisissant c=3 j'ai obtenu comme équation de plan
9x-y+3z-16=0

le deuxième j'y ai pas réfléchi mais c'est un peu le même genre
essai avec le produit vectoriel vu que les droites sont parallèles
dis le si t'as des problèmes

Posté par Shadyfj (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 18:11

Au fait je ne comprends pas tes équations de droites.
Dans l'espace une droite est définie par l'intersection de 2 plans peux tu m'éclairer?? A moins que ça soit les vecteurs directeurs de ces droites. Dans ce cas précise le en disant par exemple d1=Vect((a,b,c))

Supposons que c'est le cas on a l'équation de notre plan
ax+by+cz+d=0
en remplaçant les coordonnées de P on a une équation
les 2 autres sont obtenues en faisant (a,b,c).(2,1,-1)=0
et (a,b,c).(3,6,-2)=0

ensuite pivot de gauss...

Posté par tht (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 18:30

Hello, merci à toi Shadyfj!!

Il sagit en effet des coef directeur des droites, là je dois partir mais je retravaille ce soir et te tiens informé via le forum!!

Posté par Shadyfj (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 18:39

tu veux dire vecteurs directeurs??

Posté par tht (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 21:50

oui c'est cela!!!

Posté par tht (invité)re : Equation d un plan 26-06-05 à 23:44

Bonsoir Shadyfj,

Lorsque tu dis dans ton post de 18h11, que l'on arrive à un système de 3 éq je suis daccor mais ensuite pourquoi choisis tu c=3???

Posté par
H_aldnoer
re : Equation d un plan 27-06-05 à 00:33

il n'y a pas unicité de l'équation du plan

Posté par Shadyfj (invité)re : Equation d un plan 27-06-05 à 11:14

quand on résoud un tel système on obtiens par exemple a=(4/3)*c b=-c..
en prenant c=3 ça m'a permis d'avoir a b et d entiers

et comme l'a dit H_aldnoer, il n'y a pas unicité de l'équation du plan

Posté par tht (invité)re : Equation d un plan 27-06-05 à 20:30

Salut Shadyfj,

Merci pour ton aide!!!

Mon exos est de trouver la droite d passant par P(2,-3,5) et // à la droite définie par

P1 : x-y+2z=-4
P2 : 2x+3y+6z=12

Comment pourrais-je trouver les paramètres directeurs de cette droite, existe t il plusieurs méthodes?

Posté par tht (invité)re : Equation d un plan 27-06-05 à 22:20

ok c'est bon!!



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