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Niveau Maths sup
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Equation d'une ellipse dans l'espace ?

Posté par
masamune31
10-05-11 à 23:29

Bonjour tout le monde ! (j'ai mis le niveau de difficulté un peu au pif, ne m'y connaissant pas mais ce n'est pas du niveau lycée en tout cas)

Voila, j'ai un petit problème, je n'ai pas un niveau fabuleux du tout en mathématique en toute franchise, tout est parti depuis un exercice dans un livre mathématique niveau lycée :

P plan d'équation : y + z -2 = 0
S Sphère d'équation x² + y² + z² = 9

Dont il fallait justifier qu'il y a une intersection entre P et S, et qu'il fallait déterminer le rayon et centre du cercle qui est l'intersection de ces 2 .

Bref, je me suis lancé dans mon petit délire de mathématique comme d'habitude, j'adore quand je fais ça.

J'ai fais un système, donc je devrais trouver une équation de cette fameuse intersection qui est un cercle. Cela donne :
| y = 2 - z
| x² + (2_z)² + z² = 9 (1)

Avec (1) :
    x² + 4 + z² _ 4z + z² = 9
<=> x² + 2z² _ 4z = 5
<=> x² + 2 (z² _2z) = 5
<=> x² + 2 (z_1)² _ 2 = 5
<=> x² + 2 (z_1)² = 7

Alors là (on m'aidait un petit peu (parce que je n'aurais jamais su que c'était l'équation d'une fameuse ellipse), super j'ai l'équation d'une ellipse, hop je me renseigne ici sur cela (je ne connaissais que les cercles) : http://www.mathcurve.com/courbes2d/ellipse/ellipse.shtml

Ah je me suis planté, il doit y avoir un y et non un z, je corrige de suite :

|z = 2 _ y
| x² + y² + (2_y)² = 9 (2)

Avec (2) :
   x² + y² + 4 + y² _2y = 9
<=> x² + 2y² _ 2y = 5
<=> x² + 2(y²_2y) = 5
<=> x² + 2(y_1)² _2 = 5
<=> x² + 2(y_1)² = 7

Bon là je bloque, j'ai pas l'équation d'une ellipse, alors que cette l'intersection est une ellipse d'excentricité 0 (c'est à dire un cercle).

(Et meme si je fais pas attention au y_1 en disant que y_1 = Y.  L'excentricité ne vaut pas 0 dans ce cas... Parce que comme e = c/a (avec e : excentricité, c la demi distance focale, a le demi grand axe), il faut que c = 0, donc que a² = b².)

Alors que faire? Merci d'avance pour votre aide.

J'ai d'autres questions mais c'est pas exactement le meme sujet mais c'est très fortement lié :

-Pourquoi on ne peut pas définir une ellipse dans l'espace par une équation ? Car là, meme si j'arrive à résoudre mon problème, quand je vois l'équation d'une ellipse, il n'y a que 2 termes variables (x et y), alors que le z existe... Je ne peux pas prendre n'importe quel z pour une ellipse si ?
Bizarre, on devrait pouvoir la définir par un système ou par une équation..

Désolé si c'est un peu brouillon. J'espère avoir été clair.

Posté par
LeHibou
re : Equation d'une ellipse dans l'espace ? 10-05-11 à 23:47

Bonsoir,

Dans 3, une seule équation va en général définir une surface de dimension 2.
(Plus généralement, dans n, une seule équation définit en général une hyper-surface de dimension n-1).
Si tu veux définir quelque chose de dimension 1 dans 3, il te faut deux équations.
Tu le sais déjà pour des droites (intersection de deux plans). Ca marche pareil pour des cercles (intersection d'un plan et d'une sphère, ou de deux sphères).

Posté par
geo3
re : Equation d'une ellipse dans l'espace ? 11-05-11 à 09:11

Bonjour
Ecrit comme cela c'est déjà un cercle
P plan d'équation : y + z -2 = 0
S Sphère d'équation x² + y² + z² = 9 de centre O(0,0,0) et de rayon 3
Pour savoir si le plan coupe la sphère il suffit de chercher la distance de o au plan qui est |0+0-2|/2 = 2 par la formule de la distance de (x1,y1,z1) au plan ax+by+cz + d = 0  qui  est |ax1+by1+cz1+d|/(a²+b²+c²)
ou en calculant le point  d'intersection  H (0;1;1) de la perpendiculaire au plan ( x=0 et y=z) comprenant O avec le plan y+z-2=0 et puis la distance OH = 2
Ce plan coupe la sphère car 2 < 3
Ce cercle a pour centre H(0;1;1) et pour rayon (3²-2) = 7
A+

Posté par
masamune31
re : Equation d'une ellipse dans l'espace ? 11-05-11 à 15:00

Merci pour les réponses.

Donc pour ta solution, d'accord, tu as utilisé la méthode avec la formule de la distance là qu'on avait vu en cours. Merci. ^^

Mais bon, je reste sur ma faim pour mon problème là de l'équation x² + 2(y_1)² = 7 ... Je ne sais toujours pas si c'est l'équation d'une ellipse, et si non, comment l'arranger pour que cela le devienne, et pourquoi alors que j'ai travaillé dans l'espace (3 variables), cela se termine dans le plan. :/

Mais j'imagine que c'est lié à la réponse de Lehibou, tu pourrais me définir ce qu'est 3 s'il te plait ? Et me donner 1 ou 2 exemples par la meme ocassion histoire que je comprenne ce que c'est. ^^ Sinon le reste de ta réponse je pense avoir compris.

Posté par
DOMOREA
Equation d'une ellipse dans l'espace 11-05-11 à 15:34

bonjour,
Les réponses précédentes(LeHibou, geo3) à tes questions sont évidement les bonnes
mais je crois comprendre ce qui te gène
Ton équation x²+2(z-1)²=7 est l'équation de la projection orthogonale du cercle intersection du pla et de la sphère  sur le plan (O,x,z)
La projection de ce cercle est bien sûr une ellipse
Tu peux la mettre sous la forme (x/v7)² +((z-1)/V(7/2))²=1
par translation tu retrouves l'équation classique X²/a² +Z²/b²=1   x=X et Z=z-1    dans le plan (ox,z)



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