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Niveau première
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équation de cercle et produit scalaire

Posté par Profil romainromain 02-05-18 à 10:07


Bonjour, je bloque sur un grand exercice, pourriez-vous m'aider svp?

Voici l'énoncé:

OABC est un carré de côté 2 et de centre I, J est le milieu du segment OA

Objectif: Trouver, dans chacun des cas suivants l'ensemble des points M tels que
- vecteur MO. vecteur MA = 4
-MA2 + MC2=8

1ère méthode, avec un repère:

On choisit le repère orthonormé (O, i,j) tel que OA=2i et OC=2j et on note M(x;y) les coordonnées d'un point M quelconque. On note E l'ensemble des points M tels que vecteur MO. vecteur MA = 4 et F l'ensemble des points tels que -MA2 + MC2=8

Lors de toute une première partie nous sommes guidés pour parvenir (en utilisant les coordonnées de vecteurs) à trouver que E est en fait le cercle de centre J et de rayon r= racine de 5. Je trouve aussi que F est le cercle de centre I et de rayon r= racine de 2 (c'est en fait le cercle circonscrit au carré). J'ai réussi toute cette première partie.

Ensuite on nous propose de retrouver ces résultats avec une 2ème méthode, sans repère, dont voici les questions:

1)a) Démontrer que vecteur MO. vecteur MA = MJ2-JO2
b) En déduire 'M appartient à E' équivaut à JM2=5
c) conclure

2) Démontrer que MA2+MC2= 2MI2 + 4
b) En déduire que 'M appartient à F' équivaut à MI2=2
c) conclure

Je n'arrive pas du tout à faire les questions 1-a et 2-a (les démonstrations). Alors qu'ensuite je retrouve bien les mêmes conclusions qu'à la première partie, en ce qui concerne les déductions des b) et c) des deux questions.

Je ne vois pas du tout par où commencer pour ces deux démonstrations (au 2-a je crois reconnaître l'expression d'un théorème, je ne sais plus trop lequel). Pourriez-vous m'aider svp? Merci d'avance

Posté par
malou Webmaster
re : équation de cercle et produit scalaire 02-05-18 à 10:17

bonjour romain
1a)
dans ton résultat tu vois qu'il y a la lettre J...il faut l'introduire

\vec{MO }.\vec{MA }=(\vec{MJ }+\vec{JO }).(\vec{ MJ}+\vec{JA })=\dots

Posté par
Seconde2000
re : équation de cercle et produit scalaire 02-05-18 à 12:02

Oui Malou t' a vraiment guidé.  Ce genre d' exercice est appelé courbe de niveau. En general lorsqu'on te demande l' ensemble des points du plan tels que :

.= k , k element de
Il faut considérer le milieu de A et B permet de resoudre le problème par manipulation des vecteurs en produit scalaire


Pour le cas ou tu as une expression de la forme:
MA2 + MB2 + MC2 = k , k element de

On considère le point I tel que
+ + =

qu' on réintroduit dans le produit pour trouver a la fin une expression de la forme
MI2= l , l un element de sur lequel tu sais déjà discuter.
La methode précédente s' applique à n points ssi +++ .................. + 0.


Le cas MA/MB = k , rejoint le cas précédent en sachant M B.

A voir tes question je suppose que tu est en Seconde, donc ce que je t' ai donné est pour ta culture; la meilleure des choses est que tu puisses reprendre la demonstration en suivant les techniques Malou et Moi t' avons donné.

Si tu est prêt je peux te donner des exercices particuliers de même difficulté en produit scalaire et demonstration de propriété niveau seconde.

Posté par
Seconde2000
re : équation de cercle et produit scalaire 02-05-18 à 12:08

Pour le premier qui ne s' affiche pas c' est

. = k

avec = vecteur MA et
= vecteur MB

Pour le second qui ne s' affiche pas il s' agit de:
vecteur AI + vecteur BI + vecteur CI =
                             vecteur nul

Posté par Profil romainromainre : équation de cercle et produit scalaire 02-05-18 à 13:28


Bonjour merci,

Je n'ai pas compris votre réponse seconde2000, en développant la réponse de Malou (double distributivité en quelques sortes), j'obtiens:

=MJ2 + MJ.JA + JO.MJ + JO.JA
=MJ2 + MJ(JA+JO) + JO.JA
or vecteur JA= - vecteur JO
donc on a au final =MJ2-JO.JO=MJ2-JO2

De même au 2)a), en introduisant le point I j'obtiens

MA2+ MC2
= (MI + IA)[sup][/sup] + (MI + IC)2
= MI2 + 2MI.IA + IA2 + MI2 + 2MI.IC + IC2
=2MI2 + (racine de 2)2 + (racine de 2)2 + 2MI.(IA+IC)
=2MI2 + 4 (car vecteur IA + vecteur IC = vecteur nul)
                                                                          
Je précise que je note sur la feuille avec la notation vecteur partout. Qu'en pensez-vous?

Posté par
malou Webmaster
re : équation de cercle et produit scalaire 02-05-18 à 13:43

ça m'a l'air bien tout ça , tu as compris !

Posté par Profil romainromainre : équation de cercle et produit scalaire 02-05-18 à 13:57


Merci beaucoup

Posté par
Seconde2000
re : équation de cercle et produit scalaire 02-05-18 à 14:03

Felicitation Romainromain car tu as compris mon explication et celle de Malou.

Moi dans mon message, je t' ai présenté le cas general (pour n points) pou MA 2 + MB2 = k, si la somme des facteurs situé à côté des MA2 est différent de zero comme dans le cas de ton exercice ou 1+1=2 0.  Tu peux t' essayer à la démonstration et si tu bloques tu peux nous revenir.



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