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Équation de degré 2

Posté par Profil Ramanujan 16-01-19 à 13:42

Bonjour,

Déterminer en fonction du paramètre réel m le nombre de racines dans [0,1] de l'équation x^2-mx-1=0

1ère chose où je bloque, comment savoir combien de racines réelles possède cette équation ?

Posté par
lionel52re : Équation de degré 2 16-01-19 à 13:59

Si delta positif...
Si delta nul ...
Si delta négatif...

Posté par
larrechre : Équation de degré 2 16-01-19 à 14:02

Bonjour,

Le coefficient du terme en x^2 et le terme constant sont de signes contraires...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 16-01-19 à 14:11

J'ai revu mon cours de première et donc :

ax^2 + bx+c=0 avec a \ne 0

\Delta = b^2 - 4 ac

Si a et c sont de signes contraires alors \Delta >0.

Ainsi comme 1 et -1 sont de signes contraires mon équation admet 2 solutions distinctes x_1 et x_2 quel que soit m

Après je dois comparer les signes de x_1 et x_2 et là je vois pas trop.

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 16-01-19 à 14:15

J'ai retrouvé la formule : x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} =-1 <0 donc les solutions sont de signe contraire.

Or x=0 n'est pas solution donc x_1 <0 et x_2 >0

Mais ici je bloque.

Posté par
lionel52re : Équation de degré 2 16-01-19 à 14:28

Allez c'est un travail de recherche et d'initiative du nerf.

Avec ce que tu as fait dans ton message tu peux au moins dire un truc sur le nombre de racines. Puis ensuite tu as
f(0) = -1
f(1) = -m

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 16-01-19 à 14:50

Ah merci Lionel ça m'a bien aidé les valeurs de f

La fonction f est négative entre les racines car le coefficient devant x^2 est strictement positif.

1er cas :

Si m=0 il y a une seule solution dans [0,1] qui est 1

2ème cas :

Si m < 0 donc  f(1) >0 alors 1 > x_2

J'ai donc : x_1 < 0 < x_2 < 1

Une seule solution dans [0,1] qui est x_2

3ème cas :

Si m > 0 on a  f(1)  < 0 alors x_1 <0 < 1 < x_2

Aucune solution dans [0,1]

C'est correct ?

Posté par
carpediemre : Équation de degré 2 16-01-19 à 16:05

salut

4x^2 - 4mx - 4 = (2x - m)^2  - 4 - m^2 = (2x - m - \sqrt {4 + m^2})(2x - m + \sqrt {4 + m^2})

et il est évident que m - \sqrt {4 + m^2} < m - |m| \le 0


il nous reste à résoudre l'inéquation 0 \le m + \sqrt {4 + m^2} \le 2   (1)

or m + \sqrt {4 + m^2} \ge m + |m| \ge 0 donc la première inégalité est vraie

de plus \sqrt {4 + m^2} \ge 2 donc pour avoir une solution dans l'intervalle [0, 1] il est nécessaire que m \le 0

donc    (1)  \iff 0 \le -m \le \sqrt {4 + m^2} \le 2- m \iff 0 \le m^2 \le m^2 + 4 \le m^2 - 4m + 4  qui est toujours vrai

donc pour tout m \le 0 cette deuxième solution appartient à l'intervalle [0, 1]


autre méthode (toujours avec m \le 0 )   :   m + \sqrt {4 + m^2} = \dfrac 4 {\sqrt {4 + m^2} - m} \le \dfrac 4 {\sqrt {4 + m^2}} \le \dfrac 4 2 = 2


histoire de faire cogiter un peu tes neurones ...

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 16-01-19 à 16:21

Bonjour
autre méthode : à partir de f(0) et f(1), considérer les variations de f

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 16-01-19 à 19:31

@Carpediem

Je comprends rien à votre solution. Déjà à la ligne 3 je suis perdu. Je suis allergique aux solutions compliquées

@Lafol

Comme 0 n'est pas solution :

x^2 - mx -1 = 0 \Leftrightarrow mx = x^2 - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{x^2-1}{x}=x - \dfrac{1}{x}

Il faut résoudre l'équation f(x)=m avec :

f : ]0,1] \rightarrow \R
x \longmapsto x - \dfrac{1}{x}  

f est dérivable sur ]0,1] comme somme de fonction dérivables :

f'(x)=1 + \dfrac{1}{x^2} >0

La fonction f est strictement croissante sur ]0,1]  et on  a :

\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = - \infty et f(1)=0

D'après le tableau de variations de la fonction f
Si m \leq 0 il y a une solution dans ]0,1]

Si m <0 il y a aucune solution dans ]0,1]

Posté par
carpediemre : Équation de degré 2 16-01-19 à 19:56

dommage ...

forme canonique et majoration minoration des racines pour conclure ...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 16-01-19 à 20:15

Vous allez trop vite entre la ligne 1 et la ligne 2 et la ligne 3.

Posté par
carpediemre : Équation de degré 2 16-01-19 à 21:05

ben peut-être se rappeler quelle était la question ... et élémentaire pour quelqu'un qui a fait une prépa ...

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 16-01-19 à 21:49

je n'arrive pas à comprendre par quel chemin tortueux on est passé de f(x) = le trinôme du début à f(x) = x - 1/x ?

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 17-01-19 à 01:52

@Lafol

Comme x=0 n'est pas solution on peut diviser par x

x^2 - mx -1 = 0 \Leftrightarrow mx = x^2 - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{x^2-1}{x} \Leftrightarrow x - \dfrac{1}{x} = m  

Introduisons la fonction :

f : ]0,1] \rightarrow \R
x \longmapsto x - \dfrac{1}{x}  

Il faut résoudre l'équation f(x)=m avec m \in \R

Posté par
mousse42re : Équation de degré 2 17-01-19 à 02:41

Salut Ramanujan

Il y a rien de compliqué dans ce qu'à fait carpediem, il a seulement analysé les solutions de ton équation qui sont :

\bigg\{\dfrac{m-\sqrt{m^2+4}}{2},\dfrac{m+\sqrt{m^2+4}}{2}\bigg\}

La première n'est pas dans [0,1] tu devrais pouvoir le justifier.

Reste la seconde

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 17-01-19 à 13:28

Pour la première :

m^2 < m^2 + 4 donc |m| <  \sqrt{m^2+4} par croissance de la fonction racine carrée sur \R^+

Si m \geq 0 ça donne : m - \sqrt{m^2+4} <0 soit \dfrac{m - \sqrt{m^2+4} }{2} <0 la solution n'appartient pas à [0,1]

Si m <0 ça donne  -m - \sqrt{m^2+4} <0 donc \dfrac{-m - \sqrt{m^2+4} }{2} <0 la solution n'appartient pas à [0,1]

C'est juste ça ?

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 17-01-19 à 13:43

mais quel intérêt de regarder le signe de \dfrac{-m - \sqrt{m^2+4} }{2}

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 17-01-19 à 13:47

de toutes façons, vu que c/a = -1, les racines sont de signe contraire : il y en a au maximum une entre 0 et 1
selon le signe de m, il est facile de voir laquelle des deux racines est positive (si m positif) ou négative (si m est négatif)
reste à voir quand celle des deux qui est positive est en plus inférieure à 1

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 17-01-19 à 13:54

Oui je vois mais ma résolution est moins calculatoire et plus simple, celle du départ où Lionel m'a aidé avec le f(1)=-m

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 17-01-19 à 13:58

je n'ai pas encore fait un seul calcul (à part écrire les deux racines, mais est-ce du calcul qu'écrire (-b + ou - racine de delta)/(2a) ?)

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 17-01-19 à 14:03

il y a moyen d'utiliser ce qu'on sait sur le signe du trinôme, aussi : ce trinôme sera toujours positif, sauf pour x entre les racines
si f(1) est négatif, c'est que 1 est entre les racines. Puisque f(0) est négatif, on a alors tout l'intervalle [0;1] qui est entre les racines, et donc aucune racine dans l'intervalle
si f(1) est positif, on sait que 0 est entre les racines mais pas 1 : il y a donc une des racines qui est entre 0 et 1
zéro calcul.

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 17-01-19 à 14:12

Oui c'est ce que j'ai utilisé pour donner la solution ci-dessus en introduisant 2 racines x_1 et x_2 avec x_1 <0 et x_2 >0
Il suffit de faire un tableau de signe avec les racines et on voit directement la réponse suivant le signe de m.

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 17-01-19 à 14:13

sauf que tu ne l'avais absolument pas expliqué

Posté par
mousse42re : Équation de degré 2 17-01-19 à 15:03

Ramanujan @ 16-01-2019 à 14:50

Ah merci Lionel ça m'a bien aidé les valeurs de f

La fonction f est négative entre les racines car le coefficient devant x^2 est strictement positif.

1er cas :

Si m=0 il y a une seule solution dans [0,1] qui est 1

2ème cas :

Si m < 0 donc  f(1) >0 alors 1 > x_2

J'ai donc : x_1 < 0 < x_2 < 1

Une seule solution dans [0,1] qui est x_2

3ème cas :

Si m > 0 on a  f(1)  < 0 alors x_1 <0 < 1 < x_2

Aucune solution dans [0,1]

C'est correct ?


C'est clair que tu aurais dû conclure que pour m\le 0 on a une seule racine dans [0,1] et pour m>0, on a aucune racine dans [0,1] .

Tu as résolu ton pb dès le 4ème post

Posté par
carpediemre : Équation de degré 2 17-01-19 à 19:19

il est vrai qu'on pouvait réfléchir plus finement avec le produit des racines ...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 17-01-19 à 22:15

lafol @ 17-01-2019 à 14:13

sauf que tu ne l'avais absolument pas expliqué


Bah j'ai tout expliqué en faisant les différents cas sur le signe de m.

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 17-01-19 à 22:16

@Mousse

Exact, puis pour progresser je me contente des solutions les plus simples dans tous les exos ou les démos, j'ai pas envie de m'embrouiller pour rien.

Posté par
mousse42re : Équation de degré 2 17-01-19 à 22:46

tu as tort ...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 17-01-19 à 23:01

J'ai pas de temps à perdre sur des solutions compliquées qui m'embrouillent alors que j'ai réussi à résoudre l'exo avec une méthode que je comprends parfaitement.

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 17-01-19 à 23:33

tu as certes fait différents cas sur le signe de m, mais dans les différents cas, tu n'as guère expliqué comment tu obtenais tes inégalités .... écrire "alors" ou "j'ai donc" entre deux inégalités n'est en aucun cas une explication ...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 17-01-19 à 23:55

On les trouve avec le tableau de signe d'une équation du second degré.

Posté par
lafol Moderateurre : Équation de degré 2 17-01-19 à 23:58

tu ne l'avais pas dit, alors.
et une équation, ça n'a pas de signe, j'imagine que tu veux parler du signe du trinôme du second degré ?

Posté par Profil Ramanujanre : Équation de degré 2 18-01-19 à 00:28

Oui c'est ça


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