Inscription / Connexion Nouveau Sujet
équation de fonction
Bonjour,
Je cherche à résoudre cette équation dont l'inconnue est la fonction f (je connais très peu ce type d'équations)
f est une fonction à une variable réelle. a et b sont deux réels quelconques.
a²+b.f(b) = b²+a.f(a) <=> b.f(b)-a.f(a)=b²-a² (pr ts a,b réels)
Je ne sais pas résoudre une telle équation. J'ai une piste en voyant que l'identité fonctionne. Mais y a-t-il un théorème ou autre chose qui prouve qu'une telle équation admet au plus une solution? Ou y a-t-il un autre moyen de la résoudre?
Merci pour vos éventuelles réponses.
Bonjour
Généralement quand on donne une relation pour deux réels quelconques on essaie d'en fixer un et de prendre des valeurs qui arrangent pour l'autre. Vous avez tenté ?
Non j'ai pas essayé ça.
On peut prendre a=0. On arrive à b.f(b)=b². Donc dans ce cas f=id, mais on est dans un cas particulier là ou on a bien le droit de fixer une valeur car on cherche sur f et ni sur a ni sur b?
Je veux dire fixer un réel ici donne une solution générale ou dit que juste dans ce cas f peut valoir l'identité, mais ce peut-il qu'avec un a non nul l'équation n'est pas de solution?
salut
Je cherche à résoudre cette équation dont l'inconnue est la fonction f (je connais très peu ce type d'équations) laquelle
f est une fonction à une variable réelle. a et b sont deux réels quelconques.
a²+b.f(b) = b²+a.f(a) <=> b.f(b)-a.f(a)=b²-a² (pr ts a,b réels)
Je ne sais pas résoudre une telle équation. J'ai une piste en voyant que l'identité fonctionne. laquelle laquelle
l'équivalence s'obtient avec la simple de collège : a = b <=> a + c = b + c
on voit évidemment que la fonction identité f : x --> x est solution ...
si on suppose f différente de l'identité et si on pose g(x) = f(x) - x alors
donc la fonction x --> xg(x) est constante
...
Non j'ai pas essayé ça.
On peut prendre a=0. On arrive à b.f(b)=b². Donc dans ce cas f=id, mais on est dans un cas particulier là ou on a bien le droit de fixer une valeur car on cherche sur f et ni sur a ni sur b?
Je veux dire fixer un réel ici donne une solution générale ou dit que juste dans ce cas f peut valoir l'identité, mais ce peut-il qu'avec un a non nul l'équation n'est pas de solution?
Revoyez le principe de l'analyse-synthèse dans ce cas.
Et attention ! pour obtenir f = id je suppose que vous avez """divisé par b"""...
Même remarque sur la solution proposée par carpediem
pas besoin de diviser par quoi que ce soit pour voir que
on voit évidemment que la fonction identité f : x --> x est solution ...
d'ailleurs dans ce que j'ai écrit je ne fait aucune division ...
mais je suis bien d'accord qu'il faut prendre des précautions ... quand elle sont nécessaires !!!
ainsi ici évidemment k/x n'existe pas en 0 ... ce qui restreint les solutions de f si on travaille sur R ou sur R* ...
Je ne sais pas moi, je suis bête et discipliné, on me dit que f est une fonction de la variable réelle j'en déduis donc qu'elle doit être définie sur R 
et non sur R*. La rédaction ci-dessus ne me convainc donc pas du tout (mais je n'exclus pas avoir zappé un truc !).
merci pour vos réponses. (ah je ferrai un énoncé plus clair la prochaine fois!)
le fait que f soit définie sur 
veut peut-être dire que nécessairement k=0 ?! car dans le raisonnement (de carpediem) il n'y a aucune condition (sauf f
id)
Je suis d'accord avec vous, si f est définie sur R alors pour tout x réel, xg(x) = 0*g(0) = 0 = k.
Et on n'utilise jamais dans ce raisonnement que f n'est pas l'identité (i.e. que g n'est pas l'application nulle)… ce qui est dérangeant.
En fait on récupère très bien que f(x) vaut x si x est non nul, il reste juste le f(0) qui est un peu litigieux.
reprenons :
1/ on voit évidemment que la fonction identité f : x --> x est solution ...
2/
si on suppose f différente de l'identité et si on pose g(x) = f(x) - x alors
donc la fonction x --> xg(x) est constante
deux cas :
f est définie sur R et 0g(0) = 0 évidemment donc xg(x) = 0 => f(x) = x d'ailleurs on a l'équivalence
f est définie sur une partie de R ne contenant pas 0 et alors :
ceci est vrai d'ailleurs pour tout x <> 0 et on peut poser f(0) = ce qu'on veut
...
PS : il manque évidemment les quantificateurs pour travailler proprement avec rigueur ...
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac