bonjour

déjà tu sais que le domaine de résolution est R+, à cause de la racine carrée.
tu peux étudier le cas x=0 à part,  puis prendre le ln de chaque membre.

Je recommence tout depuis le début du coup ?

C'est-à-dire que je prends le ln de chaque membre à partir de l'énoncé, sans tenir compte de mes transformations ?

et même, pas besoin d'étudier à part le cas x=0, puisque par convention 0^0 = 1

le changement de variable n'est pas indispensable, mais tu peux le faire si tu préfères travailler avec des X plutôt qu'avec de sqrt(x)

Du coup on a une première solution évidente avec x = 0 ?

oui

En utilisant les propriétés de la fonction ln, j'arrive avec du sqrt(x) -x = e^(sqrt(x)/x)
Mais je ne vois pas de constante donc ça me bloque...

comment tu as fait pour te retrouver avec du exp ?
montre si tu veux

sinon, avec le changement de variable sur lequel tu étais parti :   X = x ---- xR+*

x^(sqrt(x)) = sqrt(x)^x

X²^X = X^X²

ln(X²^X ) = ln(X^X²)
...

x^(sqrt(x)) = sqrt(x)^x
donc ln(x^(sqrt(x))) = ln(sqrt(x)^x) car les 2 membres sont biens positifs et non nuls (hors cas avec x = 0).
donc sqrt(x)ln(x) = xln(sqrt(x))
donc sqrt(x)/x = ln(sqrt(x)) / ln(x)
donc sqrt(x)/x = ln(sqrt(x)-x)
donc e^((sqrt(x)/x) = sqrt(x) - x

En fait je pense que cela complique de poser X = sqrt(x)

hum, non, ça ne complique pas, au contraire (tu essaieras ensuite si tu veux)

mais terminons ce que tu as commencé :
(évite les donc, il s'agit d'équivalence sur R+*, pas d'implications)

ln(x^(sqrt(x))) = ln(sqrt(x)^x)   ---oui  
sqrt(x)ln(x) = x ln(sqrt(x))  --- oui

sqrt(x)/x = ln(sqrt(x)) / ln(x)  --- tu as fait un produit en croix ? pourquoi ?
non  : passe tout dans le membre de gauche et factorise

sqrt(x)ln(x) = x ln(sqrt(x))  
sqrt(x)ln(x) - x ln(sqrt(x))   = 0  ==> pense que sqrt(x) = x^(1/2)  et donc ln(sqrt(x))  = ln(x^(1/2)) = .....?

Merci !
du coup ma factorisation donne :
ln(x) * (sqrt(x)-1/2x) = 0
<--> ln(x) = 0 ou  -1/2(x^2) + x = 0
<--> x = 1 car l'autre équation n'admet pas de solution

Donc in fine je note que, on résout dans R+, que par convention, on a une première solution évidente pour x = 0 et que sinon, ......., donc que x = 1 ?

ln(x) * (sqrt(x)-1/2x) = 0  --- ça, ok mais tu peux encore factoriser sqrt(x)

<--> ln(x) = 0 ou -1/2(x^2) + x = 0  --- en rouge faux (ainsi que la suite !)

tu dois trouver 3 solutions

remarque : 1 aussi était solution "évidente"

salut

évidemment je suppose x > 0

tout nombre positif est le carré de sa racine carrée donc



or un produit est nul si et seulement si ...

damned ... il y a une erreur ...

bonjour carpediem

_{j'étais en train de me gratter la tête pour comprendre la 3ème équation.
soulagée}

Oui je suis allé trop vite...
sqrt(x) -x/2 = 0
<--> x(-1/2sqrt(x) + 1) = 0
<--> x = 0 ou sqrt(x) = 2
<--> x = 0  ou x = 4

Quelle 3e équation ?

sqrt(x) -x/2 = 0
<--> x(-1/2 * sqrt(x) + 1) = 0  --- ce n'est pas x mais sqrt(x), d'accord ?
<--> sqrt(x) = 0 ou sqrt(x) = 2
<-->x= 0  ou x = 4

d'où S = {0;1;4}

Non je me suis compliqué un peu (je n'ai pas réécris toutes les étapes de calcul).
Mais je peux le faire si tu veux vérifier.

excuse-moi je ne comprends pas ton dernier message.
tu veux essayer avec changement de variable ? c'est ça ?

Sinon, Carpediem, pour ta méthode, j'ai eu du mal à comprendre de l'étape 2 à 3,
est-ce que c'est ça ? :
sqrt(x)^(2*sqrt(x)) = sqrt(x)^x
<--> sqrt(x)^(2sqrt(x)) - sqrt(x)^(x^(1/2)) = 0
<--> (sqrt(x)^(x^(1/2)^2) - sqrt(x)^(x^(1/2)) = 0
<--> sqrt(x)^(x^(1/2)) * (sqrt(x) - 1) = 0
Bon ce n'est pas très lisible, je devrais apprendre le Latex...

là j'ai tout compris
en revanche je ne m'explique pas pourquoi on ne retrouve pas la solution x=1

je vous laisse poursuivre sur la méthode de carpediem
bonne continuation

Carlita :
Si je recopie tout :
ln(x) * (sqrt(x)-x/2) = 0
<--> x = 1 ou sqrt(x) -x/2 = 0
<--> sqrt(x) * (sqrt(x)-x/2) = 0
<--> sqrt(x)*x/2 + x = 0
<--> x(sqrt(x)/2 +1) = 0
<-->x = 0 ou x = 4

Oups joli écorchage de pseudo...
Merci !

Carpe diem, je n'arrive pas à retrouver les 3 solutions à partir de la factorisation, notamment, comment faire avec
sqrt(x)^sqrt(x) = 0 ?

ln(x) * sqrt(x) * (1 - sqrt(x)/2) = 0   ---- factorise "à fond" dès le départ
sinon tes équivalences ne sont pas respectées.

ln(x) =0 ou  sqrt(x) =0 ou  (1 - sqrt(x)/2) = 0
....
<--> x = 1 ou x = 0 ou x = 4

oui, carlita c'est la copine à nicolas, c'est pas moi

je file
++

Ce n'est pas très grave en fait car vu que l'on a travaillé sur les logarithmes c'est peut-être mieux que je fasse avec une application de la fonction ln plutôt que de faire une factorisation assez complexe.

je voulais proposer une alternative sans passer par le log mais uniquement avec les propriétés des puissances vues au collège ...

moi non plus je ne vois pas ...

par contre en prenant le log on a bien cette solution 1 ...
et on doit exclure 0 même si on le retrouve comme solution ...

julieTrI : oui c'est extrêmement illisible sans latex ...

Pourquoi on exclut 0 de nos solutions ?

ben quand tu prends le log tu dois exclure 0 !!

et le tester tout seul !!!

D'accord merci !

de rien