Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale SuitesTopics traitant de Suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Equation de Kepler

Posté par
Yona07 23-11-21 à 14:35

Soient \epsilon \in]0;1[ et a\in \R et considérons l'équation de Kepler :  x-\epsilon \sin(x) =a.

On définit la suite: (x_n)_{n\geq 0} définie par:
\begin{cases} x_0=a \\ x_n=a+\epsilon\sin(x_ {n-1}) \end{cases}.

1. Montrer que la suite (x_n)_{n\geq 0}  vérifie:

>0, n0: nn0, p |x_n-x_{n+p-1}|<\eta.

2. On admet que  (x_n)_{n\geq 0} converge vers une limite l. Montrer que l est  l'unique solution de l'équation de Kepler.

Je n'arrive pas à résoudre la question 1..J'ai commencé par considérer un quelconque dans R*+. Avec l'inégalité triangulaire, j'ai eu: |x_n-x_{n+p-1}|\leq \epsilon (|\sin(x_{n-1})|+|\sin(x_{n+p-1})|)
J'ai pensé à les majorer par |x_n| + |x_{n+p-1}| mai on ne sait vers où tend (x_n)_{n\geq 0}.. J'ai pensé également à transformer la somme des sinus avant de passer à l'inégalité triangulaire, mais en vain..

Merci de donner des indications ^^

Posté par
larrechre : Equation de Kepler 23-11-21 à 16:14

Bonjour,

Je ne t'aiderai pas beaucoup plus, mais je pense que tu devrais regarder de ce côté là

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 17:29

Bonjour Yona07,

Tu peux commencer par essayer de majorer | x_n - x_{n+1} | , en remplaçant ces deux valeurs par leur expression en fonction du terme précédent.

Va apparaître ensuite une différence de sin. Que peux-tu utiliser pour majorer une différence d'images par la même fonction?

Cela te donnera donc une majoration de | x_n - x_{n+1} | , pour tout n.

Maintenant, dans | x_n - x_{n+p-1} | , fais apparaître les termes intermédiaires, et applique la majoration trouvée avant.

Tu devrais obtenir une majoration intéressante, et pouvoir conclure...

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 17:34

Pour la limite et l'unicité, tu peux appliquer l'énoncé dans l'indication donnée par larrech

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 23-11-21 à 20:03

Bonsoir larrech et Foxdevil!  Désolée pour le retard, je viens de rentrer chez moi (^_^)''. Merci pour vos interventions. Je vais tester ce que vous avez proposé.

Foxdevil @ 23-11-2021 à 17:29

Que peux-tu utiliser pour majorer une différence d'images par la même fonction?


Inégalité des accroissements finis?

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 20:05

Citation :
Inégalité des accroissements finis?

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 23-11-21 à 20:34

x|\rightarrow \sin(x) \text{ est continue et dérivable dans }\R \text{ et pour tout x }\in\R, | \cos(x)|\leq 1\\\text{Alors, pour tout } (x;y)\in \R^2: |\sin(x)-\sin(y)|\leq |x-y|, \text{ ainsi:}\\|\sin(x_{n+1}-\sin(x_n)|\leq |x_{n+1}-x_n|\\\text{Par récurrence: }|\sin(x_{n+1})-\sin(x_n)|\leq |x_1-x_0|, \text{ pour tout n} \in \N. \\\\\text{Par la suite: }\\|x_n-x_{n+p-1}|=|x_{n+p-1}-x_n|=|\sum_{k=n}^{n+p-2}{x_{k+1}-x_k}|\leq |x_{n+1}-x_n|+|x_{n+2}-x_{n+1}|+...+|x_{n+p-1}-x_{n+p-2}|\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq (p-1)|x_1-x_0|

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 20:42

Citation :
\text{Par récurrence: }|\sin(x_{n+1})-\sin(x_n)|\leq |x_1-x_0|
Cette majoration n'est pas correcte...
Quand tu appliques ce que tu as montré plus haut, tu n'as que des sin dans l'expression...

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 20:43

Citation :
Quand tu appliques ce que tu as montré plus haut, tu n'as pas que des sin dans l'expression...

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 23-11-21 à 21:15

Oups, j'ai oublié les epsilons. Je rectifie:

|x_{n+1}-x_n|=\epsilon |\sin(x_n)-\sin(x_{n-1})|\\\\ x|\rightarrow \sin(x) \text{ est continue et dérivable dans }\R \text{ et pour tout x }\in\R, | \cos(x)|\leq 1\\\text{Alors, pour tout } (x;y)\in \R^2: |\sin(x)-\sin(y)|\leq |x-y|, \text{ ainsi:}\\|x_{n+1}-x_n|=\epsilon |\sin(x_n)-\sin(x_{n-1})|\leq \epsilon |x_n-x_{n-1}|\\\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq\epsilon ^2|x_{n-1}-x_{n-2}| \\\text{Par récurrence: }|x_{n+1}-x_n|\leq \epsilon^n |x_1-x_0|, \text{ pour tout n} \in \N. \\\\\text{Par la suite: }\\|x_n-x_{n+p-1}|=|x_{n+p-1}-x_n|=|\sum_{k=n}^{n+p-2}{x_{k+1}-x_k}|\leq |x_{n+1}-x_n|+|x_{n+2}-x_{n+1}|+...+|x_{n+p-1}-x_{n+p-2}|\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \sum_{k=n}^{n+p}{\epsilon^k}|x_1-x_0|=\epsilon^n\times \frac{1-(\epsilon)^{p+1}}{1-\epsilon}|x_1-x_0|
?

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 21:20

Ok, c'est beaucoup mieux .

Sinon, petit détail, on peut "calculer" |x_1 - x_0|.

Pour l'expression \frac{1-(\epsilon)^{p+1}}{1-\epsilon}, on peut la majorer également.
Comme ça, on obtient une majoration indépendante de p, et on pourra répondre à la question

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 23-11-21 à 21:35

|x_n-x_{n+p-1}|=|x_{n+p-1}-x_n|=|\sum_{k=n}^{n+p-2}{x_{k+1}-x_k}|\leq |x_{n+1}-x_n|+|x_{n+2}-x_{n+1}|+...+|x_{n+p-1}-x_{n+p-2}|\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \sum_{k=n}^{n+p}{\epsilon^k}|x_1-x_0|=\epsilon^n\times \frac{1-(\epsilon)^{p+1}}{1-\epsilon}|x_1-x_0|; ( 1-\epsilon^{p+1}<1)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \; \leq \frac{\epsilon^{n+1}}{1-\epsilon}|a|

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 21:49



Conclusion?

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 23-11-21 à 22:06

\text{On a: } \epsilon^{n+1}\rightarrow_{n\rightarrow +\infty}0, \text{ donc: } \lim_{n\rightarrow +\infty} |x_n-x_{n+p-1}|=0

Alors: (x_n) est une suite de Cauchy, ce qui permet d'obtenir le résultat demandé.

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 22:08

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 23-11-21 à 22:16

Super! ^^ Merci infiniment. Je vais maintenant essayer de résoudre  la deuxième question. Avez-vous des propositions?  

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 22:17

Foxdevil @ 23-11-2021 à 17:34

Pour la limite et l'unicité, tu peux appliquer l'énoncé dans l'indication donnée par larrech

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 23-11-21 à 23:08

\text{Considérons la fonction f définie par: }\\ f: [a;a+1]\rightarrow [a;a+1]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x|\rightarrow a+\epsilon\sin(x), \text{ où: }\epsilon \in ]0;1[\\\text{La suite }(x_n) \text{ est définie par son premier terme }x_0=a\in[a;a+1] \text{ et par la relation de récurrence }f(x_n)=x_{n+1} \\ \\\text{f est continue sur }[a;a+1] \text{ et } f([a;a+1])\subseteq [a;a+1].\\\\ (x_n)\text{ converge vers l, alors l est la solution de l'équation: f(x)=x. Ainsi, l est une solution de l'équation de Kepler}

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 23-11-21 à 23:59

Alors, tu peux considérer la fonction sur tout \R en fait. Et effectivement la continuité implique que l est une solution de l'équation de Kepler.

Maintenant pourquoi f n'admet-elle qu'un unique point fixe?

Rappelle-toi....f est contractante; ie il existe k \in [0;1[ tel que pour tout x,y \in \R , |f(x) - f(y)| \le k |x-y|.

Du coup, que se passerait-il si f admettait deux points fixes l et l' distints?

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 24-11-21 à 00:23

L'application contractante admet un unique point fixe..

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 24-11-21 à 00:28

f n'est pas donc contractante, alors:
k[0;1[, (x;y)2; |f(x)-f(y)|>k|x-y|??

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 24-11-21 à 00:29

Non désolée, c'est faux..

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 24-11-21 à 00:32

|f(l)-f(l')|\leq k |l-l'| \text{ et donc: } |l-l'|\leq k |l-l'|, \text{ par suite: } 1\leq k<1 (absurde)

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 24-11-21 à 00:36

Yona07 @ 24-11-2021 à 00:32

|f(l)-f(l')|\leq k |l-l'| \text{ et donc: } |l-l'|\leq k |l-l'|, \text{ par suite: } 1\leq k<1 (absurde)
Ok

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 24-11-21 à 00:49

A>0, N0; nN0, ("Merci")nA

(Une bêtise . Merci infiniment )

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 24-11-21 à 00:53

"Merci"n (terme générique) (^_^)'

Posté par
Yona07re : Equation de Kepler 24-11-21 à 01:37

On a vu les fonctions k-lipschitzienne en première. Il me semble que la contractante est en fait  k-lipschitzienne mais le k<1 au lieu de k1, n'est ce pas?

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 24-11-21 à 08:56

Yona07 @ 24-11-2021 à 00:49

A>0, N0; nN0, ("Merci")nA

(Une bêtise . Merci infiniment )


Yona07 @ 24-11-2021 à 01:37

On a vu les fonctions k-lipschitzienne en première. Il me semble que la contractante est en fait  k-lipschitzienne mais le k<1 au lieu de k1, n'est ce pas?

Oui exactement

Posté par
Foxdevilre : Equation de Kepler 24-11-21 à 09:17

Pour lipschitzienne k peut être quelconque par contre (même plus grand que 1)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !