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équation de tangente

Posté par
Jsptrop
25-04-18 à 17:03

j'ai un exercice que j'ai du mal à résoudre et j'aimerai être sûr de mes réponses c'est pour cela que je vous demande votre aide.  Merci.

on considère la fonction f(x)=5+2/x qu'on étudie sur I=]0;+∞[ et on note Cf sa courbe représentative.
1) Trouver l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a (a>0) après avoir justifié qu'elle est bien définie.
2) Démontrer qu'il existe exactement une tangente à Cf passant par A(1;4). On nomme TE cette tangente. Déterminer l'abscisse de E.

Posté par
kenavo27
re : équation de tangente 25-04-18 à 17:10

bonjour,
qu'as-tu déjà fait ?

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 17:18

J'ai justifié que la tangente à la courbe au point d'abscisse a était bien définie car la dérivé d'une fonction inverse est définie sur l'intervalle ]-∞;0[U]0;+∞[. Or a >0 donc non nul.

Pour la suite de la première question j'ai rappelé que y=f'(a)(x-a)+f(a).
J'ai ensuite calculé f'(a) et j'ai trouvé f'(a)=0 . L'équation de la tangente est donc y=f(a)=5+2/a
Mais je ne suis pas sur de ce résultat.

Posté par
kenavo27
re : équation de tangente 25-04-18 à 17:43

poste ta dérivée

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 18:04

(f(a+h)-f(a))/h
= (5+2/(a+h) - 5-2/a) / h
=((2+5(a+h))/(a+h) - (5a-2)/a) / h
=(a(2+5(a+h))+(a+h)(-5-2)) / a(a+h) / h
=(2a-2(a+h)) / a(a+h) / h
= 2(a-(a+h)) / ha(a+h)

lim 2(a-(a+h))/ha(a+h)=0

Posté par
kenavo27
re : équation de tangente 25-04-18 à 18:08

f(x)=5 + 2/x

f'(x)= 0+ (-2/x²)=-2/x²
y=f'(a)(x-a)+f(a). = (-2/a²)(x-a)(5+  2/a)=......

sauf distraction

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 18:30

oui merci beaucoup ! J'avais oublié que la dérivé de la fonction inverse était f'(x)=-1/x²

Pour la deuxième question il me suffit de remplacer x et y dans l'équation par les coordonnés du point A(1;4) et de déterminer a ?

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 25-04-18 à 18:45

Bonjour,

  je réponds en attendant Kenavo27, que je salue

oui, tiens compte des coordonnées de A

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:04

merci

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:06

as-tu trouvé a?

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:12

je suis entrain de résoudre l'équation avec le point A(1:4)
4=(-2*1)/a² + 4/a +5
<=> 0= -2/a² + 4/a + 1

c'est un polynôme de second degrés donc :
∆ = b²-4ac

je suis alors bloqué car je n'arrive pas à identifier b et a

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:19

commence par réduire au même dénominateur (avec a \ne 0) et donne ton résultat

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:29

je ne comprends pas

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:33

Citation :
0= -2/a² + 4/a + 1


c'est -\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{4}{a}+1=0

à réduire au même dénominateur.

vas-y !

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:37

0= -2/a² + 4/a +1
= (-2 + 4a + a²) /a²
= -2+4a

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:39

donc a=1/2

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:44

non!

si tu réduis au même dénominateur tu as

-\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{4a}{a^2}+\dfrac{1\times a^2}{a^2}=0

soit si a\ne 0,~~ a^2+4a-2=0

OK?

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:53

Pourquoi ne peut-on pas simplifier par a² ?

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 19:53

ah non pardon j'ai compris

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 25-04-18 à 20:00

il te reste  à résoudre l'équation. Tu obtiens 2 valeurs de a.

attention que a n'est pas le même que dans \Delta=b^2-4ac

dans cette formule, b est le coefficient de x, a est le coefficient de x² et c est le terme idépendant

dans ax^2+bx+c=0

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 25-04-18 à 20:17

donc
∆=4²-4*1*(-2)
=24>0
il y a donc deux solutions
x1=(-b-√∆)/2a
et x2=(-b+√∆)/2a

x1=(-4-√24)/2*4
=(-4-2√6)/8
=2(-2-√6) / 8
=(-2-√6)/4

donc x1= (-2-√6)/4
et x2= (-2+√6)/4

or on étudie la fonction sur l'intervalle I=]0;+∞[
donc S={ (-2+√6)/4 }

c'est bien cela ?

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 25-04-18 à 20:48

il y a une petite erreur dans le calcul du dénominateur, d'où les racines sont fausses

de plus, f(x) existe pour des valeurs de x < 0

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 26-04-18 à 17:26

Je ne trouve pas l'erreur dont vous parlez

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 26-04-18 à 20:01

a et pas x!

a=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+8}}{\textcolor{red}{2}}=-2\pm\sqrt{6}

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 26-04-18 à 20:06

je ne comprend pas pourquoi le dénominateur est 2

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 26-04-18 à 20:10

ah si c'est bon j'ai compris merci beaucoup
Donc l'abscisse du point E est -2+√x

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 26-04-18 à 20:10

je voulais dire
*** -2+√6***

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 26-04-18 à 20:15

il y a 2 valeurs ,  2 tangentes passant par A

Posté par
Jsptrop
re : équation de tangente 26-04-18 à 20:20

S= {-2-√6; -2+√6}

Posté par
Pirho
re : équation de tangente 26-04-18 à 20:21

oui



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