Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

Équation diff. lin. du 1er ordre

Posté par
hhhhhhhhhhh
21-01-18 à 14:46

Bonjour,
M'est donnée l'équation différentielle suivante, que je dois résoudre sur I = \mathbb{R}_+^{*} : (E) : x Z'(x) + (2x+1)Z(x) = e^{-x}
J'ai résolu l'équation homogène associée. En notant S'_I l'ensemble des solutions de l'équation homogène, j'obtiens :
S'_I = \{x \mapsto C\frac{e^{-2x}}{x}, C \in \mathbb{R}\}
Puis j'ai mis en place une méthode de variation de la constante :
Soit Z \in C^1(I,\mathbb{R}), et introduisons la fonction C : I \rightarrow \mathbb{R} , x \mapsto xe^{2x}Z(x)
Alors, \forall x \in I, Z(x) = C(x) \frac{e^{-2x}}{x}
Z'(x) = \frac{e^{-2x}}{x} \left(C'(x) - C(x) \times \frac{2x+1}{x}\right)

ce qui implique que : \forall x \in I, Z'(x) + \frac{2x+1}{x} Z(x) = \frac{e^{-2x}}{x} C'(x)

Donc, Z est solution de (E) sur  I
ssi \forall x \in I, Z'(x) + \frac{2x+1}{x}Z(x) = \frac{e^{-x}}{x}
ssi \forall x \in I, \frac{e^{-2x}}{x}C'(x) = \frac{e^{-x}}{x}
ssi \forall x \in I, C'(x) = e^x
ssi \exists D \in \mathbb{R} , \,\forall x \in I, C(x) = e^x

Et en notant, je trouve donc que l'ensemble des solutions de (E) sur  I est :
S_I = \{x \mapsto C\frac{e^{-2x}}{x} + e^x, C \in \mathbb{R}\}

Cependant, en vérifiant mes solutions graphiquement, cela ne fonctionne pas. J'ai beau chercher mon erreur, je ne trouve pas...
Merci d'avance de votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équation diff. lin. du 1er ordre 21-01-18 à 14:51

il y a juste une petite erreur à la fin.
si C(x) = ex alors Z(x) = C(x)e-2x/x = e-x/x et donc ta solution générale c'est
Z(x) = Ke-2x/x + e-x/x

Posté par
hhhhhhhhhhh
re : Équation diff. lin. du 1er ordre 21-01-18 à 16:35

Ahhh mais oui je suis bête !!!
Je reprenais C(x) et non pas Z(x) comme solution particulière...
Merci beaucoup
Bonne fin de journée



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !