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Niveau école ingénieur
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Équation différencielle

Posté par
Calvin1999
17-02-17 à 16:33

Bonjour, j'ai cet exercice facultatif à rendre pour la rentrée, mais il fait appel à des notions post-bac (Je suis en Terminal) . Merci pour vos pistes dans cet exercice que j'ai vraiment du mal à comprendre.

Dans tout l'exercice, désigne un nombre réel de l'intervalle ] 0 ; 1 ].

1. On se propose d'étudier les fonction dérivables sur ] - ; \frac{1}{2} [ vérifiant l'équation différentielle :
E() : y' = y^2 +y et la condition y(0) = 1.
On suppose qu'il existe une solution y_0 de  E() strictement positive sur ] - ; \frac{1}{2} ] et on pose sur  ] - ; \frac{1}{2} ] : z = \frac{1}{y_0}.
Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

2. Les solutions de l'équation différentielle y' =-y sont les fonctions xCe^(-x), où C est une constante réelle.

a) Démontrer l'existence et l'unicité de la solution z de l'équation différentielle E'() : z' = -(z + 1) telle que z(0) = 1.
b) Donner l'expression de cette fonction que l'on notera z_0.

On veut maintenant montrer que la fonction z_0 ne s'annule pas sur ] - ; \frac{1}{2} [ .

3.a) Démontrer que ln(1+) > /(+1)
On pourra étudier sur ] 0 ; 1 ] la fonction f définie par f(x) = ln(1+x) - \frac{x}{x+1}.
b) En déduire que (1/)ln(1+) > \frac{1}{2}

4. En déduire que la fonction z_0 ne s'annule pas sur ] - ; \frac{1}{2} [ .
Démontrer alors que E() admet une solution strictement positive sur ] - ; \frac{1}{2} [  que l'on précisera.

Merci beaucoup pour votre aide ! ☺

Posté par
jsvdb
re : Équation différencielle 17-02-17 à 16:52

Bonjour Calvin1999.

1. Tu as z' = \dfrac{y'_0}{y_0^2}=\dfrac{y_0^2+\lambda.y_0}{y_0^2} = 1+\lambda.z

Posté par
jsvdb
re : Équation différencielle 17-02-17 à 17:10

2.

Ton problème est z' = -(\lambda.z +1)=-\lambda.(z + \frac{1}{\lambda})=(z+\frac{1}{\lambda})'

On pose y = z+\frac{1}{\lambda} et le problème devient y' = -\lambda.y,~ y(0) = 1 + \frac{1}{\lambda}

Or on t'a donné les solutions de l'équation y' = -\lambda.y. Donc le problème cherché a une solution. Si de plus on impose la condition initiale, la solution est unique.

Cette solution est y(x) = (1 + \frac{1}{\lambda})e^{-\lambda.x} d'où \blue \boxed {z_0(x) = \left(1 + \frac{1}{\lambda}\right)e^{-\lambda.x} - \frac{1}{\lambda}}

Posté par
jsvdb
re : Équation différencielle 17-02-17 à 17:13

3. est du niveau de terminale, donc tu fais une étude classique de fonction : dérivée, limites, tableau de variation etc etc.

Posté par
Calvin1999
re : Équation différencielle 17-02-17 à 18:15

Salut jsvdb , merci pour tes réponses ☺
1. Compris, mais il manque un - 😉
2. J'ai vraiment du mal à comprendre le raisonnement

Posté par
Calvin1999
re : Équation différencielle 19-02-17 à 14:01

Posté par
scoatarin
re : Équation différencielle 19-02-17 à 16:28

Bonjour,

Calvin1999 @ 17-02-2017 à 18:15

Salut jsvdb , merci pour tes réponses ☺
1. Compris, mais il manque un - 😉
2. J'ai vraiment du mal à comprendre le raisonnement


L'énoncé donne les solutions d'une équation différentielle de type:   y' = - y, donc l'idée du raisonnement  est, à priori, de ramener la question posée à la résolution d'une équation de ce type.

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