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Equation differentiel
Bonjour , j'ai besoin d'aide pour un exercice de math sur les equa diff
Voici le sujet . Je bloque a la question 2a faut il derive 1/y ?
En 2023, un bien de consommation s'est vendu à 8 millions d'exemplaires dans le monde. Le temps x, en
années, étant compté à partir du 1er janvier 2024, on note f(x) le nombre de millions d'exemplaires de ce bien
qui auront été vendus en x années. Par exemple, f(1,5) est, en millions, le nombre d'exemplaires qui auront été
vendus au 1er juillet 2025.
Ainsi, la fonction f vérifie f(0) = 8. De plus, l'état du marché et la demande pour ce bien ont conduit au modèle
selon lequel f est solution de l'équation différentielle (E) sur [0; +[,
où (E) y' = 0,001y(200 - y)
1. Soit (E') l'équation différentielle : z' + 0,2z = 0,001.
a. Déterminer la solution constante de (E').
b. En déduire l'ensemble des solutions de (E').
2. Soit y une solution de (E) ne s'annulant pas sur [0; +co[. On pose z = 1/y
a. Montrer que z est solution de (E').
b. En déduire que, pour tout x ≥ 0, on a :
f(x) =1000 / (5+120e-0,2x.)
3. Déterminer l'année au cours de laquelle, selon ce modèle, le bien considéré se sera vendu à plus de
100 millions d'exemplaires.
4. Les personnes qui ont établi le modèle selon lequel f est solution de (E) se sont basées sur l'hypothèse que le nombre d'exemplaires vendus du bien étudié ne dépasserait jamais un certain seuil : lequel et pourquoi ?
Ensuite : -1/y^2 + 0.2/y = 0.001 sa montre pas que z est solution ?
Faut il factoriser ? : 1/y ( -1/y +0.2) = 0.001
Bonjour,
2)a) Si on part de , il est plus logique de démarrer avec :
et (dérivée de fonctions composées).
je trouve : z' = -1/y^2
ta dérivée est fausse
quand ta dérivée sera correcte, remplace dans E'
et du coup je dois remplacer sa dans l equation (E) ? ou bien je prend la derivé de z puis je remplace ?dans (E')
L'énoncé :
2. Soit y une solution de (E) ne s'annulant pas sur [0; +co[.
On part de
ensuite on "bricole" pour parvenir à
on a z= 1/y et z'= - (y' / y^2)
On veut mntrer que z est solutiond de E'
avec E' : z'+0,2z=0,001
En remplacant on a : - y' / (y^2) + 0,2/y = 0.001
J'obtiens sa .
Que dois je faire pour moontrer que z est bien solution de E' en partant de z' ?
C'est bon je viens de trouver , merci je trouve bien E' en partant de E tout en remplacant systematiquement comme vous m'aviez dis de le faire .
Ensuite pour la question 2b on me demande de en déduire que
f(x) =1000 / (5+120e^(-0,2x).)
Comment procédé etant donné que la seul chose qu 'on sait c est que f est solution de l equation diff de (E)
D'accord mais comment determinez vous que f(x)= 1 / z(x)
J'ai compris enfaite. Est ce parce que z(x) = 1/ y(x) et y(x) c est f donc on isole et on trouve que y(x) ou f(x)= 1/z(x) est ce sa l explication ?
Ensuite on me demande ceci : Déterminer l'année au cours de laquelle, selon ce modèle, le bien considéré se sera vendu à plus de
100 millions d'exemplaires.
Faut il resoudre l'equation f(x) = 100 ?
D'accord mais comment determinez vous que f(x)= 1 / z(x)
Tu as montré que (en fait il y a équivalence) :
si
Oui, plus exactement
Et donc vu que la date origine des temps est le 1er janvier 2024, on arrivera aux 100 millions vers la fin de l'année 2039
pouvez vous m'expliquer pourquoi on arrivera aux 100 millons ver la fin de l'anné 2039 par calcul intermediaire vous etes passé ?
Dsl erreur bete de ma part j'ai compris j'avais oublié que Le temps x, en années, étant compté à partir du 1er janvier 2024
Ensuite Pour la question 4 on me demande ceci :
Les personnes qui ont établi le modèle selon lequel f est solution de (E) se sont basées sur l'hypothèse que le nombre d'exemplaires vendus du bien étudié ne dépasserait jamais un certain seuil : lequel et pourquoi ?
Y aurai pas une histoire de limite ? avec la fonction f(x) ?
Mais c'est toi qui l'a trouvé : 15.89 années.
Et l'énoncé dit :
Le temps x, en années, étant compté à partir du 1er janvier 2024, on note f(x) le nombre de millions d'exemplaires de ce bien
qui auront été vendus en x années.
On a lim x-> +00 f(x) = 200 (je n'ecris pas x-> +00 je considere que c ecris )
Donc : lim 1/ 5+120e^(-0,2x) = 1/5 car lim e^(-00) = 0 ensuite on a par produit lim 1/5 x 1000 = 200
J'ai simplifier l ecriture en "ecartant le 1000 " de sorte a avoir 1/ 5+120e^(-0,2x) qui est plus facile a etudier puis j'ai mulptiler par 1000
on me dit de repondre par "lequel et pourquoi" a la question 4 lequel c'est 200M d'expemplaires et j'arrive pas repondre au "pourquoi "
oui :
On pourrait montrer que est strictement croissante sur
En tout état de cause, avec ce modèle, les 200 millions d'exemplaires ne seront jamais atteints 
Si tu admets que est strictement croissante sur
(un petit calcul de dérivée permet de l'affirmer), tu peux faire un minuscule tableau de variation :
et strictement croissante sur
vers
(note que la borne 200 est exclue).
N'hésite pas à faire ce tableau de variation.
l'avez vous fais a l'aide de la calculatrice ? pour determiner l'intervalle que vous m'aviez donné ou comment ?
je comprends mais cela n explique pas le pourquoi on attendra pas les 200 M ou si ? Pouvez vous m'eclaircir
Et si tu n'es pas convaincu, tente de résoudre l'équation (de la même manière que tu as résolu l'équation
)
Ok d'accord je comprends mieux en visualisant avec le graphique , je tiens ainsi a te remercier pour l'aide que tu a pu m apporter .
Cependant pour la question 4 je pourrai repondre ainsi : Le nombre d'exemplaire vendu du bien etudié ne depassera jamais les 200M la j explique par le calcul de lim puis le pourquoi je fais mon tableau de variation et je dis que il y a une asymptote horizontale en y=200 ainsi on a l'intervalle suivante [8;200[ le 200 est exclu car asymptote ... et donc c'est la raison pour laquelle on ne depassera jamais les 200 avec ce modele . Je peux l expliquer ainsi ?
Merci !
Oui mais il est plus joli d'écrire :
est strictement croissante de
vers
après un calcul de dérivée qui donne sur
et sur ,
(la deuxième inégalité étant stricte).
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