1)
y''' = (L^3)exp(Lx) = y = exp(Lx)
L=1 ; y = exp(x)
2)
z = y' -y
z' = y'' -y'
z'' = y''' -y''
en ajoutant ces trois égalités :
z+z'+z'' = y'''-y = 0
3)
solutions de z+z'+z'' = 0 :
z = exp(-x/2) ( a.cos(rx) +b.sin(rx) )
a, b constantes et r=(1/2)racine(3)
ensuite on résoud l'équation du premier ordre y' -y =z
Autre méthode :
on revient à la première question : L^3 = 1
trois solutions :
L=1
L=(1+i.r)/2  avec r=racine carrée de 3
L=(1-i.r)/2
donc trois fonctions de base :
exp(x)
exp(x/2).cos(r.x/2)
exp(x/2).sin(r.x/2)
y(x) = a.exp(x) +b.exp(x/2).cos(r.x/2) +c.exp(x/2).sin(r.x/2)
4) calculer y' et y'', faire x=0 ce qui donne (sauf erreur)
:
a+b = 1
a +(b/2) - (b.r/2) =0
a +(b/4) -b.r²/4 +c.r/2 =0
la résolution donne a, b et c.