dx/dt = 1/(t-exp(x))
t' = dt/dx = t-exp(x)
t'-t = -exp(x)
méthode habituelle de résolution ...
équation sans second membre : t'-t=0 soultions : t=C.exp(x)
Solution de l'équation complète par la méthode de la variation de la constante :
t = C(x).exp(x)
t' = C'.exp(x)+C.exp(x)
t'-t = C'.exp(x) = -exp(x)
donc  C' = -1
C(x) = -x +c
t = (-x +c)exp(x)

A la suite de JJa

x(0) = 1 -->

0 = (-1+c).exp(1)
-> c= 1

et donc: t = (1-x).exp(x)
-----
Sauf distraction.

il y a t'il d'autre méthode, car je n'ai jamais vu cette méthode de résolution

La méthode qui est dans tous les cours et tous les bouquins consiste à:
- Résoudre l'équation "sans second membre" exactement comme cela a été fait dans cet exemple.
- Trouver une solution ^particulière de l'équation complète (souvent, une solution est évidente, ou se voit assez facilement)
- L'ajout de ces deux résultats précédents donne la solution générale de l'équation complète.
.
On utilise la méthode de la "variation de la constante" lorsque l'on a pas réussi à trouver immédiatement une solution particulière.
Dans l'exemple précédent, on aurait pu deviner que -x.exp(x) était une solution particulière. Mais cela aurait pu parraitre "parachutté" ou "sorti d'un chapeau" comme on dit. C'était l'occasion pour donner un exemple d'application de la méthode de la "variation de la constante".