Essaie de voir si tu ne peux pas t'en sortir en remarquant que
tA=
(4tI 2I)
(2I 4tI)

Ou I=
(1 0)
(0 1)

Bonne chance.
A+

*** Attention otto,dans le produit tA on multiplie chaque coefficient de A par t.

On peut remarquer que A s'écrit: A = 4*I + 2*J avec J²=I
et donc que: exp(tA) = exp( 4t*I).exp(2t*J)
en séparant les puissances paires et impaires dans l'expression de exp(2t*J) on a:

exp(tA) = exp(4t)sh(2t)*J + exp(4t)ch(2t)*I

C'est une matrice qui a la meme apparence que A avec:
(exp(6t)+exp(2t))/2 à la place du 4 et
(exp(6t)-exp(2t))/2 à la place du 2

bonjour,c'est spoky

ton explication a l' air pas mal, sauf que je n'ai pas compris un truc:
comment on sépare les puissances paires et impaires et comment on arrive à ce que tu as écris? i.e

"en séparant les puissances paires et impaires dans l'expression de exp(2t*J) on a:

exp(tA) = exp(4t)sh(2t)*J + exp(4t)ch(2t)*I"

et après comment on se sépare des "sh(2t)" et des"ch(2t)"?
si tu pouvais me détailler un peu plus pour arriver au résultats final ça serait super sympas car j'ai partiel demain et il faut q je m'entraine sur cet exo
Merci

bonjour,c'est spoky

ton explication a l' air pas mal, sauf que je n'ai pas compris un truc:
comment on sépare les puissances paires et impaires et comment on arrive à ce que tu as écris? i.e

"en séparant les puissances paires et impaires dans l'expression de exp(2t*J) on a:

exp(tA) = exp(4t)sh(2t)*J + exp(4t)ch(2t)*I"

et après comment on se sépare des "sh(2t)" et des"ch(2t)"?
si tu pouvais me détailler un peu plus pour arriver au résultats final ça serait super sympas car j'ai partiel demain et il faut q je m'entraine sur cet exo
Merci


*** message déplacé ***

Bonjour spoky,
la série définissant l'exponentiel d'une matrice M (exp(M)= M^n/n!)étant absolument convergente , on peut la sommer par paquets c'est à dire que l'on a aussi:

exp(M) = M^(2n)/(2n)! + M^(2n+1)/(2n+1)!
en appliquant cela à exp(2t*J) on a:
+ +
exp(2t*J)=(2t)^(2n)*J^(2n)/(2n)!+(2t)^(2n+1)*J^(2n+1)/(2n+1)!
n=0 n=0

et comme J²=I, les puissances paires de J valent I et les impaires valent J d'où:

exp(2t*J)=[(2t)^(2n)/2n)!]*I+[(2t)^(2n+1)/(2n+1)!]*J

et on reconnait ainsi les developpements de ch(2t) et sh(2t) en séries entières d'où le résultat.
Bonne chance pour le partiel.