ln(cos y ) + xy'*(tan y) = 0;

Il faut cos(y) > 0

ln(cos y ) = - xy'*(tan y)

ln(cos y ) = - x. (dy/dx) (tan y)

dx/x = -[tan(y)/ln(cos(y))]dy

dx/x = -[tan(y)/((1/2).ln(cos²(y))]dy

dx/x = -[2.tan(y)/(ln(cos²(y))]dy

Poser ln(cos²(y)) = t

-[2.cos(y).sin(y)/cos²(y)] dy = dt

-[2.sin(y)/cos(y)] dy = dt

-[2.tan(y)] dy = dt

-[2.tan(y)/(ln(cos²(y))]dy = dt/t

En intégrant:

-S [2.tan(y)/(ln(cos²(y))]dy = S dt/t = ln|K.t| = ln|K.ln(cos²(y))|
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dx/x = -[2.tan(y)/(ln(cos²(y))]dy
S dx/x = -S [2.tan(y)/(ln(cos²(y))]dy

ln|x| = ln|K.ln(cos²(y))|

x = K.ln(cos²(y))

ln(cos²(y)) = x/K

cos²(y) = e^(x/K)

Et comme cos(y) > 0 -->

cos(y) = V(e^(x/K))

y = arcos(V(e^(x/K)))

Avec K dans R*.

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Calculs à vérifier.  

1))  ln(cos y ) + xy'*(tan y) = 0;
faire le changement de fonction :
t = cos(y)

2)) xy'sin(y/x) + x = y sin (y/x);  
faire le changement de fonction :
t = y/x