bonsoir
permettez moi de vous répondre

On se propose de résoudre dans R l'équation différentielle  
y'=-y+2x-1 (E) avec y(0)=3

1)Résoudre y'=-y (H)

y'=-y

ssi dy/dx=-y
ssi dy/y=-dx
ssi ln|y/yo|=-x
ssi |y|=|yo|exp(-x+xo).


2) Déetreminer les réels a et b tels que g(x)=ax+b soit solution de
(E)

si g(x) est solution de (E) alors

g'(x)=-g(x)+2x-1

ssi a=-ax-b+2x-1
ssi a=(2-a)x-1-b
ssi a=-1-b et 2-a=0
ssi a=2 et b=-3

donc g(x)=2x-3

donc les solutions générales de (E) sont de la forme:

|y|=|yo|exp(-x+xo)+2x-3

voila bon courage.

Pour les équations différentielles de ce type.
On groupe comme suit:

y' + y = 2x - 1
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On cherche les solutions de l'équation avec le second membre =
0.
y' + y = 0

Les solutions sont données par: y = A.e^(-x)   avec A une constante.
     (1)
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On cherche une solution particulière de l'équation avec second
membre.

Ici, le prof est gentil puisqu'il te dit que la solution est de la
forme: y = ax + b  (il faut déterminer a et b)

y = ax + b
y' = a

et donc y' + y = ax + a + b

que l'on identifie à l'équation y' + y = 2x - 1

Il vient le système:
a = 2
a + b = -1

Et donc a = 2 et b = -3

Une solution particulière de l'équation avec second membre est donc
y = 2x - 3.   (2)
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La théorie montre que les solutions générales de l'équation différentielle
sont données par la somme des solutions (1) et (2) ->

y = A.e^(-x) + 2x - 3

On te dit encore que y(0) = 3, cela va permettre de déterminer la valeur
de la constante A.

3 = A.e^0 + 0 - 3
3 = A - 3
A = 6
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Et donc la solution est y = 6.e^(-x) + 2x - 3
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Sauf distraction.