Oops, c'est mieux ainsi :

y= * exp(-x+ln(x+1)) + x-2

Bonjour,

Le théorème de Cauchy Lipschitz indique l'existence et l'unicité de la solution (sous quelles conditions?).

De même, est-il dit à quoi appartient x?


Pour vérifier, il suffit de dériver, et de voir dans l'équation

Bonjour,
Tu peux simplifier ton expression, sachant que :

On n'a pas besoin de  Cauchy - Lipschitz  pour cette ED .

Mais dans l'étude de l'équation  (x +1 ) y' + x y = 0  ,  si on divise par x + 1 ,  il faut se placer dans un intervalle ne contenant pas -1

Tu dois aussi discuter en fonction des deux intervalles et

Plus précisément il y a les solutions sur   A := ]- , -1[  , celles sur B := ]-1 , +[  et celles sur .
Celles sur A forment un sous espace affine de dimension 1 de ^{A .}

Celles de B aussi .

Il faut voir s'il en est de même pour les solutions sur .

Bonjour
il était demandé l'ensemble des solutions sur l'ensemble des réels .... partant de là la solution proposée par sheigh, qui fait intervenir des ln(x+1), ne PEUT PAS être bonne....

Bonsoir,
de toutes façons, il n'y a qu'une seule fonction définie et dérivable sur R qui soit solution de cette équation : c'est xx-2.

et elle ne vérifie pas y(1) = 1 ....

verdurin

1.
Les solutions sur A ou sur B sont de la même forme  x   c. (x + 1)exp(-x) + x - 2 ( c )

2.
    On remarque que  pour tout   , u : ,   x   (x + 1)exp(-x) + x - 2  est solution sur .

   Ce sont les seules ; car si  y est solution sur , il existe (a,b) ² tel que y(x) = a. (x + 1)exp(-x) + x - 2 si x < 0  et  y(x) = b. (x + 1)exp(-x) + x - 2 si x > 0  .
y étant dérivable  au point -1  on a :  -a.e +1 = -b.e +1 donc a = b et donc  y  = u_a .

3.
   u_e est la seule solution sur qui vaut 1 en 1 .

(sauf erreur)

Bonjour,

Je vous remercie tous et toutes pour vos réponses, cependant, je souhaiterai plus amples explications pour mieux comprendre tout le procédé. Etniopal j'ai perdu le fil de votre dernier message à partir du point 2.

1) Pour commencer, on cherche les intervalles car on est dans le cas où on divise par (x+1) y', d'accord.

2) La solution de l'équation homogène, j'ai un peu de mal à vous suivre car je procédais de la sorte :
y'+ y = 0
y'+=0
y'+ =0
y'+(1- y =0
donc y(x)=A*exp(x-ln(x+1))

Est-ce que c'est à ce stade qu'il faut distinguer les deux intervalles ? Mais comment ? Ou bien c'est une fois qu'on a trouvé la solution particulière ? Là aussi mais comment ?

3) On demande de trouver l'ensemble des solution sur l'ensemble des réels pourtant il y a des intervalles, je suis perdue.

salut

tu as perdu un y

ensuite il serait bien de savoir que



(1) : sur ]-oo, -1[ ou sur ]-1, +oo[

(2) : les solution de l'équation sont les fonctions où A est une primitive de a

il serait bien de connaitre son cours ...

1)  y = x - 3  est une solution polynomiale.

sheigh
     1.D'abord il n'y a aucun raisonnement dans ce que tu racontes .

     2.Si tu t'attaques à  l'équation homogène tu dois au moins  te dire que   si  y : est dérivable et vérifie "  x , (x + 1)y '(x) + xy(x) = 0 " alors ...

      3.puis tu divises allègrement par x + 1  !!
   Mais tu ne peux  pas le faire dans le cas où x = -1 , cas que tu n'as pas exclu .
--------------
Donc la réponse à ta question :
" Est-ce que c'est à ce stade qu'il faut distinguer les deux intervalles  ? " ne peut qu'être
qu'il te  fallait   être  prévoyant   .
Tu recommences  ton raisonnement :
  si J = A ou B et si   y :  J est dérivable et vérifie "  x J  , (x + 1)y '(x) + xy(x) = 0 " alors

on a  ,     y '(x) + a(x)y(x) = 0   pour tout x de J  ( si  a(x) =  x/(x + 1) )
Une primitive de a  étant A : x x - ln(|x + 1|)
.....

Bonjour,

Je vous remercie.