Bonjour AnneDu60.

Pour la 2. effectivement I = IR parce que la solution est bornée.
En  effet, si Sup I = a < alors lim y = y(a) et lim y' = 2y(a)(1 - y(a)) et la solution se prolonge en a par continuité.
Mais alors, par le théorème de Cauchy-Lipschitz, il existe une solution g de ton équation différentielle passant par le point (a,y(a)) et telle que pour , g soit définie sur et g et y soient confondues sur .
Par conséquent, y est prolongeable et Sup I = +.

Citation :
Comme un temps est 0 alors on peut poser y(t)=0 pour t<0 ?

L'ED  y'  =   2y (1 - y)  a 2 solutions maximales évidentes  ( , t 0) et  ( , t 1)  .
On remarque aussi que , c étant un reél , (J , y) est solution SSI   (J + c , x   y(x - 2)) en est une .
On  cherche donc  les  solutions maximales  J , y) non constantes telles que 0 J   et on va utiliser le fait que si (J , y)  une de celles là  , le théorème de C-L  affirme que  pour tout t de J on a y(t) 0 et 1 ; donc    on peut diviser par y(t) et y(t) - 1 .


1.Soit a > 1 et (J, y )  la solution maximale  telle que 0 J et y(0) = a .

Pour tout t de J on a donc y(t) > 1 et y '(t) < 0   et y '/y  - y '/(y) - 1) = 2   donc   ( ln o (y/(y - 1)) ' = 2 .
De là  l'existence d'un réel c > 0 tel que  : y(t)/( y(t) - 1) =  c.exp(2t) pour tout t dans J .
( D'ailleurs  c =   a/(a - 1)  )
On a alors   ( c.e^2t - 1) y(t)  = c.e^2tt ce qui entraine  c.e^2t - 1  > 0 ( toujours pour t dans J) donc   J est contenu dans ](-1/2)ln(c) , +[ et y(t) =  1/( 1 -  c.e[sup]-2t[/sup) .
  La maximalité de (J  , y)  implique qu'on a J  =  ](-1/2)ln(c) , +[  

2.Si a < 0 on se ramène au premier cas en se servant du fait que si  (J , y) est une solution alors (-J , t 1  - y(-t)) est aussi solution .

  3.A toi pour le cas :  a   ]0 , 1[  .

Bonsoir !

jsvdb :

Je n'ai pas compris vos arguments par rapport à la première partie de votre message.
y est bornée et continue sur I .
En supposant que sup(I) :=a< + on peut prolonger y en a par une certaine fonction g. Or par hypothèse, y est maximale donc on a une contradiction ?

En effet une solution est maximale signifie qu'elle ne peut pas être prolongée en une solution définie sur un intervalle strictement plus grand ?

Je vais regarder la suite des messages après mais j'aimerai bien comprendre cette partie là

Déjà, il faut comprendre ce que signifie "solution maximale".

J'avoue qu'à titre personnel, je n'aime pas cette expression car elle n'est pas du tout conforme avec l'esprit du théorème de Cauchy-Lipschitz qui parle de supports confondus.

Ici, la maximalité s'entend au sens des graphes des fonctions dans la mesure où, une solution est dite "maximale" si elle ne peut pas être prolongée au delà du domaine où elle est définie sans perdre systématiquement sa qualité de solution de l'ED.

Donc est maximale si tout prolongement de y sous la forme , avec et , n'est pas une solution.

Le théorème de Cauchy n'est pas du tout dans cette optique.

Il affirme (sous réserve des bonnes hypothèses) que pour les équations différentielles de type , pour un point donné du plan, si deux solutions passent par ce point, alors elles ont des supports confondus.

Supposons alors qu'on ait une solution d'une ED classique de la forme ci-dessus. Soit un intervalle ouvert où elle est définie.

Si M = sup I < , alors de deux choses l'une : soit y explose en M, soit y a une limite finie.

(NB : il y a bien une troisième solution : celle où n'a pas de limite, mais f étant supposée localement lipschitzienne, cela ne peut arriver)

Mais si a une limite finie, alors est prolongeable par continuité en et on a .

Mais alors, en considérant le théorème de Cauchy, l'ED a une solution passant par qui soit définie sur pour un certain .

Or sur une solution est déjà donnée par .
Donc est un prolongement de . Et par la théorie des supports confondus, le prolongement de à est unique.

Donc, maintenant, on considère le plus grand intervalle I sur lequel l'ED a une solution passant par .

Eh bien, d'après ce que je viens de dire :

- soit I est non borné.

- soit I est borné supérieurement est explose en sup I.

Mais dans tous les cas, I ne peut pas être borné supérieurement sans que n'explose pas car dans ce cas, la solution est prolongeable.
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Conclusion : la notion de "solution maximale" pourrit littéralement la compréhension du théorème de Cauchy-Lipschitz.

CL ne pourrit rien du tout
Avec son aide  on peut parler de solution maximale  et aller plus vite .

A titre d'exemple je continue  l'étude que j'ai commencée (  dans cette optique)

Un rappel :
    Sur l'ensemble  E formé des couples  (J , y) , où J est un intervalle non négligeable et y une application de J vers   on écrit   (U , f) R (V , g)  au lieu de  '   (U V et g = f   sur U) " . Cela définit un relation d'ordre ( partiel ) .
  On peut la lire ,  si on veut ,  f  est la restriction de g  à U  ou  bien  g est un prolongement de f à V  (dans ce cas on pourrait écrire  (V , g)  P (U , f)  au lieu de (U , f) R (V , g) )
On considère alors S  l'ensemble   des   (J , y) de E   où y est dérivable et   y ' = 2 y(1 - y) et l'ensemble M  formé des (J , y) qui sont maximaux dans S  ( càd que si ((J , y)  R (K,z) alrs J = K et y = z ) .  S (resp. M) 'est l'ensemble des solutions ( resp .   solutions maximales    ) de  l'ED  y ' = 2 y(1 - y) .    
      La partie unicité du th CL  entraine que si que si  (U , f)  et  (V , g) sont dans S et si  V U est non vide alors f = g sur U   V V de sorte que (U   V , f) est une solution et que si h := f sur U  et := g sur V\ U alors ( (U V , h) est une solution  qui domine (U , f) et (V , g) ( pour la relation P ) .
Cela entraine que si  ( U , f ) et (V , g)   sont  dans M .alors , ou bien UV = ou sinon U = V et f = g .

Revenons à l'exo :
     Soit     a   ]0 , 1[  . On peut parler de LA  solution  maximale  (J , y) vérifiant 0 J et y(0) = a .
Comme pour toute solution  maximale J est un intervalle ouvert .
De plus   pour tout x de J on a  y(x) ]0 , 1[  ( car ( , x 0) et ( , x 1) sont dans M )  et y '(x) < 0 .
y est donc strictement croissante et bornée .
Cela entraine que  J = .
       Supposons en effet qu'on ait m  := Sup (J)  < +  .Lorsue x m , y(x)  tend vers un réel  b   1 et y '(x) 2b(1 - b)  .
      Soit  (K , z)  LA  solution  maximale vérifiant   m K et y(m) =  b .
Soit L : = J K et h  : L définie par  h  = y dans    L J et y = z dans L \ J .
On vérifie  facilement que (L , h) est dan S  .Mais   la maximalité de (J , y)  entraine qu'on a :  (L , h) = (J , y) =  (K , z) .  Il y a contradiction  puisque K \ J est non vide .
   .On montre de la  même façon que la maximalité de (J , y) entraine que Inf(J) = - .

Rq1. On peut,  comme dans les cas a > 1 , a < 0 ,  trouver des formules pour y .
       On aurait donc pu faire l'exo sans s'appuyer sur CL  mais en faisant un raisonnement " ASC  " ( analyse , synthèse , conclusion).
Mais comme   Anne du 60 semblait utilise CL ...  
Rq2.    Les formules (qui sont demandées ) permettent de  aussi de  montrer que  y(J)  =   .
On peut aussi  utiliser le fait   que   ( , Y := 1/y)   M  

On adore la surenchère ici ...
J'ai jamais raconté que CL pourrissait quoi que ce soit, bien au contraire, mais la notion de solution maximale ne fait pas partie du théorème et n'est même pas dans son esprit.
Cette notion n'a été rajoutée que plus tard ( elle ne figure d'ailleurs dans mon cours que comme une vague proposition sans intérêt) et on en a fait « LE » truc qu'il faut impérativement retenir. Et cela masque tout le reste. Dommage !