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Équation différentielle

Posté par Profil Ramanujan 18-05-19 à 13:37

Bonjour,

Je pense qu'il y a une erreur dans mon livre dans le corrigé. Ils disent qu'une solution de l'équation homogène est x \mapsto \ln(x) sauf que je ne trouve pas la même chose.

Résoudre l'équation différentielle suivante sur des intervalles sur lesquels la fonction en facteur de y' ne s'annule pas.

x \ln(x) y' - y = - \dfrac{1}{x} (\ln(x)+1)

La fonction u : x \mapsto x \ln(x) s'annule si et seulement si x \in \{0,1\}

Donc I_1 = ]0,1[ et I_2 = ]1,+\infty[

On a donc : y' - \dfrac{1}{x \ln(x)} y = - \dfrac{\ln(x+1)}{x^2 \ln(x)}

Résolvons (E_0) : y' - \dfrac{1}{x \ln(x)} y =0

Je dois déterminer une primitive de la fonction : x \mapsto \dfrac{1}{x \ln(x)} sur I_1 et sur I_2

Une primitive de \dfrac{u'(x)}{u(x)} est x \mapsto \ln|u(x)|

Une primitive sur I_1 est x \mapsto \ln | \ln(x)| = \ln(- \ln(x))

Une primitive sur I_2 est x \mapsto \ln | \ln(x)| = \ln( \ln(x))

Ma solution est-elle correcte ?

Posté par
carpediemre : Équation différentielle 18-05-19 à 13:46

salut

ouais ça semble correct ...

remarquer que - ln x = ln (1/x) ...

Posté par
carpediemre : Équation différentielle 18-05-19 à 13:57

x \ln x y' - y = \dfrac 1 x (\ln x + 1) \iff \dfrac {y' \ln x - y \dfrac 1 x} {\ln^2 x} = \dfrac 1 x \dfrac {\ln x + 1} {\ln^2 x} \iff \left( \dfrac y {\ln x} \right)' = \dfrac {\frac 1 x} {\ln x} + \dfrac {\frac 1 x} {\ln^2 x}

l'équation différentielle est donc résolue ...

Posté par
carpediemre : Équation différentielle 18-05-19 à 14:00

carpediem @ 18-05-2019 à 13:57

x \ln x y' - y = -\dfrac 1 x (\ln x + 1) \iff \dfrac {y' \ln x - y \dfrac 1 x} {\ln^2 x} = - \dfrac 1 x \dfrac {\ln x + 1} {\ln^2 x} \iff \left( \dfrac y {\ln x} \right)' = - \dfrac {\frac 1 x} {\ln x} - \dfrac {\frac 1 x} {\ln^2 x}

l'équation différentielle est donc résolue ...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation différentielle 18-05-19 à 14:57

Votre première équivalence est fausse. Je la rectifie :

x \ln x y' - y = \dfrac 1 x (\ln x + 1) \iff \dfrac {y' \ln x - y \dfrac 1 x} {\ln^2 x} = \dfrac{1}{x^2} \dfrac {\ln x + 1} {\ln^2 x}

Je cherche une solution particulière, j'ai essayé la variation de ma constante mais le calcul des dérivées de composées de composées est très lourd.

Posté par Profil Ramanujanre : Équation différentielle 18-05-19 à 14:58

J'ai oublié le - .... A droite du égal au dénominateur c'est un x^2 et pas un x car vous divisez par x \ln^2(x)

Posté par Profil Ramanujanre : Équation différentielle 18-05-19 à 16:09

x \mapsto \ln(x) est aussi solution de l'équation homogène je ne comprends pas pourquoi on en a 2 différentes x \mapsto \ln |\ln(x)[

Posté par
carpediemre : Équation différentielle 18-05-19 à 16:17

ha oui j'ai fait une erreur :

x \ln x y' - y = -\dfrac 1 x (\ln x + 1) \iff \dfrac {y' \ln x - y \dfrac 1 x} {\ln^2 x} = - \dfrac 1 {x^2} \dfrac {\ln x + 1} {\ln^2 x} \iff \left( \dfrac y {\ln x} \right)' = \dfrac {{\blue 0(x \ln x)} - {\blue 1(}\ln x + 1 {\blue )}}{(x\ln x)^2} \right]

effectivement vu la tronche du second membre la méthode de la variation de la constante doit être compliquée ...   (*)

mais bon vu la g... du second membre on subodore quelque chose de la forme (u/v)' avec v = x ln x

ho miracle .... u = 1 semble convenir

(*) donc finalement pas si compliqué que ça ...

Posté par
luzakre : Équation différentielle 18-05-19 à 17:39

Citation :
x \mapsto \ln(x) est aussi solution de l'équation homogène je ne comprends pas pourquoi on en a 2 différentes x \mapsto \ln |\ln(x)[

Tu as beaucoup d'imagination (mais on a déjà vu qu'elle est sans limites) en disant que x\mapsto\ln(|\ln x|) est solution de l'équation homogène.

On "peut" utiliser la méthode de variation des constantes à partir de y=\lambda\,\ln(x) mais on peut AUSSI remarquer que \dfrac{1+\ln x}x=(x\ln x)\dfrac1{x^2}+\dfrac1x ce qui prouve que x\mapsto\dfrac1x est une solution de l'équation complète.

Posté par Profil Ramanujanre : Équation différentielle 18-05-19 à 18:23

Merci j'ai compris.

J'ai encore fait une erreur d'étourderie

Une primitive de \dfrac{1}{x \ln(x)} est \ln |\ln(x)|

Donc une solution homogène est : |\ln(x)| = \pm \ln(x)

Les solutions homogènes sont x \mapsto \lambda \ln(x)

Posons y(x) = \lambda(x) \ln(x) et  y'(x)=\lambda'(x) \ln(x) + \dfrac{\lambda(x)}{x}

Ainsi : x \ln(x)y' - y = x \ln^2(x) \lambda '(x) = - \dfrac{\ln(x)+1}{x}

Soit \lambda'(x) = - \dfrac{\ln(x)+1}{x^2 \ln^2(x)}

Une primitive dex\mapsto - \dfrac{\ln(x)+1}{x^2 \ln^2(x)} est x \mapsto \dfrac{1}{x \ln(x)}

Une solution particulière est donc x \mapsto \dfrac{1}{x}

Les solutions sont :

I \longrightarrow \R \\ x \mapsto  \dfrac{1}{x} + \lambda \ln(x) \lambda \in \R

Posté par
luzakre : Équation différentielle 19-05-19 à 08:38

Quand on est sur I_1 ou sur I_2 la notation |\ln(x)| n'est pas très utile.

L'intervalle I de ta dernière ligne n'étant pas défini je ne vois ce que tu veux dire par "les solutions sont".

..................................
Il manque une étude à ton exercice où l'équation différentielle contient des fonctions définies sur \R_+^* : existe-t-il des solutions définies sur cet intervalle ?

Si une telle solution existe, disons f, on sait que :
Il existe un réel \alpha tel que \forall x\in]0,1[,\;f(x)=\alpha\,\ln(x)+\dfrac1x
Il existe un réel \beta tel que \forall x\in]1,\to[,\;f(x)=\beta\,\ln(x)+\dfrac1x

Par continuité de f en 1 on a \alpha\times0+\dfrac11=f(1^-)=f(1^+)=\beta\times0+\dfrac11.
f doit être dérivable en 1. Comme les dérivées des restrictions de f ont des limites on doit avoir :
(attention, une justification s'impose, car il n'est pas dit que f doit être C^1)
\alpha\times1-\dfrac1{1^2}=\beta\times1-\dfrac1{1^2}
Il est donc nécessaire qu'on ait \alpha=\beta.

C'est suffisant (attention encore à la dérivabilité en 1) donc on a aussi :

f est solution sur \R_+^* si et seulement si il existe un réel \lambda tel que \forall t\in\R_+^*,\;f(t)=\lambda\,\ln(t)+\dfrac1t

Oui je sias , c'est compliqué et tu ne comprends pas : inutile de l'écrire.

Posté par Profil Ramanujanre : Équation différentielle 19-05-19 à 14:48

Pourquoi f est continue et dérivable en 1 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Équation différentielle 19-05-19 à 14:51

En effet, je ne comprends pas grande chose.

Ça sort d'où  \alpha\times1-\dfrac1{1^2}=\beta\times1-\dfrac1{1^2} ?

Posté par
carpediemre : Équation différentielle 19-05-19 à 15:18



pour résoudre cette équation différentielle la théorie nous impose de travailler sur chacun des intervalles ]0, 1[ et ]1, +oo[

et sur chacun d'eux on trouve des solutions ... (qui s'exprime de la même façon formellement à une constante près)

il se pose alors la question de savoir si on peut trouver des solutions sur l'intervalle ]0, +oo[ ...

ce qui impose non seulement que ces solutions soient continues (en 1) (pour pouvoir être éventuellement dérivables) mais en plus évidemment dérivables (en 1) (qui impliquent donc qu'elles sont continues)

Posté par Profil Ramanujanre : Équation différentielle 19-05-19 à 17:32

Je n'ai jamais vu ça dans mon cours. Est-ce au programme de MPSI ?

Posté par
carpediemre : Équation différentielle 19-05-19 à 18:06

je ne sais pas ... mais c'est un questionnement évidemment naturel ...

Posté par
luzakre : Équation différentielle 19-05-19 à 18:31

Il suffit de répondre à la question : qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Si la donnée de a(x)y'+b(x)y+c(x)=0 avec a,b,c continues sur I n'incite pas à chercher des fonctions dérivables sur I etc ...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation différentielle 19-05-19 à 20:09

Une solution est une fonction dérivable sur I qui vérifie l'équation.

Posté par
lafol Moderateurre : Équation différentielle 19-05-19 à 21:03

Bonsoir

Ramanujan @ 19-05-2019 à 20:09

Une solution est une fonction dérivable sur I qui vérifie l'équation.
Ramanujan @ 19-05-2019 à 14:48

Pourquoi f est continue et dérivable en 1 ?

le jour où tu comprendras que pour faire des maths il faut accepter de réfléchir, tu auras fait un grand progrès ...


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