Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence-pas de math AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau Licence-pas de math
Partager :

équation différentielle

Posté par
Petitemaute06 29-03-20 à 14:29

bonjour,
je rencontre quelques difficultés pour résoudre ces 2 équations. je vous mets mes recherches pour la première. pour la seconde, je ne sais absolument pas comment démarrer. merci d'avance pour les explications.

Résoudre les équations suivantes, de fonction inconnue 𝑦 :

(E) 2𝑦′ + 3𝑦 = 7𝑐𝑜𝑠𝑥, avec 𝑦(0) = 1
(chercher une solution particulière de la forme  𝑦0 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥)

\frac{2}{7}y'+\frac{3}{7}y = cosx
\frac{2}{7}(-asin(x)+bcos(x))-\frac{3}{7}(acos(x)+bsin(x))= -\frac{2}{7}asin(x)+\frac{2}{7}bcos(x)-\frac{3}{7}acos(x)-\frac{3}{7}bsin(x)=(\frac{-3}{7}a+\frac{2}{7}b)cos(x)+(\frac{-2}{7}a-\frac{3}{7}b)sin(x)

j'ai donc un système à résoudre :
\frac{-3}{7}a+\frac{2}{7}b=1

\frac{-2}{7}a-\frac{3}{7}b=0

j'ai trouvé a=-14/13
b=14/13

=>  𝑦0 = -14/13𝑐𝑜𝑠𝑥 + 14/13𝑠𝑖𝑛𝑥


(F) 2𝑦′ + 3𝑦 = 6𝑥 + 2, avec 𝑦(0) = 1
(chercher une solution particulière de la forme  𝑦0 = 𝑎𝑥 + 𝑏) ;
ce qui me dérange ici, c'est d'avoir le 6𝑥 + 2

Posté par
kenavo27re : équation différentielle 29-03-20 à 14:33

Bonjour
Tu as écrit :
"(E) 2𝑦′ + 3𝑦 = 7𝑐𝑜𝑠𝑥, avec 𝑦(0) = 1
(chercher une solution particulière de la forme  𝑦0 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥) "

????

Je m'absente un petit moment.

Posté par
Pirhore : équation différentielle 29-03-20 à 14:50

Bonjour,

salut kenavo27

1) je pense que ton système est faux: pour l'identification tu peux garder 7 cos(x), ce qui évite tes divisions par 7

Posté par
kenavo27re : équation différentielle 29-03-20 à 14:59

salut Pirho
rien à voir avec le sujet.
Sur ma tablette , apparait : "(E) 2 + 3 = 7 avec (0) = 1
et
sur mon ordi apparait bien : E) 2𝑦′ + 3𝑦 = 7𝑐𝑜𝑠𝑥, avec 𝑦(0) = 1

d'où mon post de  14h43 émis de ma tablette qui semble ne pas apprécier les y' et y

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 29-03-20 à 15:00

bonjour Pirho

-3a+2b=7
-2a-3b=0

serait plus judicieux ?

Posté par
jean3re : équation différentielle 29-03-20 à 15:03

les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions
y_0    +  g
où g est une solution générale de l'équation homogène.
Donc il faut d'abord résoudre 2y' + 3y =0
puis chercher une solution générale (inutile de diviser par 7)

Posté par
Pirhore : équation différentielle 29-03-20 à 15:15

Petitemaute06

réécris un peu la ligne complète qui t'a permis d'identifier les coefficients

Posté par
luzakre : équation différentielle 29-03-20 à 15:26

Bonjour jean3 !
On peut très bien chercher y_0 AVANT de chercher g.

Petitemaute06 @ 29-03-2020 à 15:00


-3a+2b=7
-2a-3b=0
serait plus judicieux ?

Toujours faux ! Revois tes calculs en recopiant correctement les coefficients de l'équation.

Posté par
kenavo27re : équation différentielle 29-03-20 à 15:31

bonjour à tous,
Petitemaute06
détaille tout ce que tu as fait.
Comme le souhaitent Pirho,jean3 et luzak que je salue

Posté par
jean3re : équation différentielle 29-03-20 à 15:42

-2a sin x  + 2 b cos x  + 3a cos x + 3 b sin x = 7 cos x

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 29-03-20 à 15:49

bonjour

Petitemaute06 @ 29-03-2020 à 14:29



(E) 2y' + 3y = 7cos x, avec y(0) = 1
(chercher une solution particulière de la forme y = a cos x + b sin x)

\frac{2}{7}y'{\red +}\frac{3}{7}y = cosx
\frac{2}{7}(-asin(x)+bcos(x)){\red -}\frac{3}{7}(acos(x)+bsin(x))=\dots

Posté par
Pirhore : équation différentielle 29-03-20 à 15:52

Bonjour lafol

que de monde je vous laisse

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 29-03-20 à 15:59

merci beaucoup pour toutes vos réponses. je viens de recommencer en suivant vos indications. juste une petite question : que va-t-on faire du 7cos(x)

2y'+3y=7cos(x)

2f'(x)+3f(x) =7cos(x)

2(-asin(x)+bcos(x)) + 3(acos(x)+bsin(x)) =7cosx

(-2a+3b)sin(x) + (3a+2b)cos(x) = 7cos(x)

d'où le système :

-2a+3b=0

3a+2b=7

est-ce juste ?

Posté par
kenavo27re : équation différentielle 29-03-20 à 15:59

Pirho
reste stp

Posté par
kenavo27re : équation différentielle 29-03-20 à 16:00

Citation :
est-ce juste ?


pour moi: oui

Posté par
jean3re : équation différentielle 29-03-20 à 16:02

C'est bon. Cherchons la solution générale.

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 29-03-20 à 16:08

après résolution du système je trouve a=-21/5 et b=-14/5

=>   𝑦0 = -(21/5)𝑐𝑜𝑠𝑥  -(14/5) 𝑠𝑖𝑛𝑥

est-ce bon ?

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 29-03-20 à 16:17

ça n'est pas très compliqué de vérifier toute seule si a et b sont bien solution du système de 15:59... prends l'habitude de te vérifier toute seule : dans la vie active ton patron n'aura pas résolu les problèmes avant toi pour te dire si c'est juste ... s'il te paie pour y réfléchir, c'est qu'il n'a pas encore la solution et qu'il la lui faut, au contraire !

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 29-03-20 à 16:18

tu vois normalement toute seule que 3a+2b=7 ne sera certainement jamais vérifiée avec a et b tous les deux négatifs ....

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 29-03-20 à 16:21

indice 9+4\neq 9-4....

Posté par
jean3re : équation différentielle 29-03-20 à 16:26

-2a+3b=0                 <----->                              -6a + 9 b =0

3a+2b=7                   <----->                                6a + 4 b =14

DONC  ?

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 29-03-20 à 16:52

jean3 @ 29-03-2020 à 16:26

-2a+3b=0                 <----->                              -6a + 9 b =0

3a+2b=7                   <----->                                6a + 4 b =14

DONC  ?


j'ai trouvé a=21/13 et b=14/13

vérification : -2(21/13)+3(14/13)= 0
                              3(21/13)+2(14/13)=7

=>  𝑦0 = 21/13𝑐𝑜𝑠𝑥 + 14/13𝑠𝑖𝑛𝑥

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 29-03-20 à 17:01



reste à trouver la solution générale de l'équation homogène associée, puis additionner les deux, puis tenir compte de la condition initiale

Posté par
jean3re : équation différentielle 29-03-20 à 17:02

Très bien. Cherchons en regardent peut-être le cours la solution générale de 2y' + 3 y =0

Posté par
kenavo27re : équation différentielle 29-03-20 à 18:01

je laisse Petitemaute06 répondre à jean3 et à lafol que je salue.

@Petitemaute06

Citation :

(F) 2𝑦′ + 3𝑦 = 6𝑥 + 2, avec 𝑦(0) = 1
(chercher une solution particulière de la forme  𝑦0 = 𝑎𝑥 + 𝑏) ;
ce qui me dérange ici, c'est d'avoir le 6𝑥 + 2


cherchons une solution particulière de la forme y0=ax+b
y'(0)=a

donc
2y'0+3y0=6x+2

sauf distraction

A toi pour la suite

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 29-03-20 à 18:44

solution générale : y(x)=e2𝑥 ?

21/13𝑐𝑜𝑠𝑥 + 14/13𝑠𝑖𝑛𝑥 +e2𝑥

Posté par
jean3re : équation différentielle 29-03-20 à 19:53

Cours:
Toutes les solutions de l'équation différentielle  y' - a.y = 0  sont de la forme :
f(x) = Cte . e^{ax}

Donc revoir le calcul puisque a est une fraction.

Puis calculer la Cte en écrivant que pour x=0 la fonction vaut 1.

Il est 20h. A demain.

Posté par
kenavo27re : équation différentielle 30-03-20 à 08:54


Salut jean3
Je te laisse poursuivre avec Petitemaute06.
Tu es un précieux aidant.

@Petitemaute06
Quand tu auras terminé la première équation , vois pour la deuxième équation.
Sans vouloir écarter jean3. Bien au contraire.
À plus.

Posté par
Pirhore : équation différentielle 30-03-20 à 08:59

salut kenavo27

je n'ai pas poursuivi car vous étiez nombreux!

perso j'aurais développé la résolution de l'équation homogène mais je suppose que jean3 va le faire

Posté par
kenavo27re : équation différentielle 30-03-20 à 09:45

Pirho
Je suis heureux que tu jettes un œil.
Effectivement, trop nombreux peut perturber le posteur.
Perso, je laisse jean3 poursuivre.
Mais
Je compte sur toi .
Dois je avouer qu'il y a plus de 50 ans que j'ai vu ces notions.
Mais ça fait du bien à la " tête" de s'y replonger. Ça nous sort du confinement.
Cordialement.

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 30-03-20 à 09:45

bonjour,
je n'avais pas compris cette étape. merci beaucoup pour l'explication.
donc f(x)= cte * e\frac{2}{3}x

1=cst* e\frac{2}{3}0
1=cst *e0
1= cst * 1
cst=1

21/13𝑐𝑜𝑠𝑥 + 14/13𝑠𝑖𝑛𝑥 + e\frac{2}{3}x
est-ce juste ?

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 30-03-20 à 10:17

kenavo27 @ 29-03-2020 à 18:01

je laisse Petitemaute06 répondre à jean3 et à lafol que je salue.

@Petitemaute06
Citation :

(F) 2𝑦′ + 3𝑦 = 6𝑥 + 2, avec 𝑦(0) = 1
(chercher une solution particulière de la forme  𝑦0 = 𝑎𝑥 + 𝑏) ;
ce qui me dérange ici, c'est d'avoir le 6𝑥 + 2


cherchons une solution particulière de la forme y0=ax+b
y'(0)=a

donc
2y'0+3y0=6x+2

sauf distraction

A toi pour la suite


je vous propose cette réponse pour la seconde équation

2y'+3y=6x+2
2f'(x)+3f(x)=6x+2
2a+3(ax+b)=6x+2
2a+3ax+3b=6x+2

d'où le système :
3a=6
2a+3b=2

=>a=6/3=2
2*2+3b=2
4+3b=2
3b=-2
b=-2/3

vérification :
3*2=6
2*2+"*(-2/3)=2

donc y0= 2x-2/3

y'-ay=0
a=\frac{y'}{y}=\frac{2}{3}

la solution finale est : 2x-\frac{2}{3}+e\frac{2}{3}x

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 30-03-20 à 10:57

Pour la première équation attention.
La condition initiale porte sur la solution de l'équation complète ! Pas sur juste un morceau de solution....
À terminer avant de passer à l'autre équation (qui n'aurait pas dû être dans le même sujet pour éviter ce qui est en train d'arriver : une grosse salade entre les deux)

Posté par
Pirhore : équation différentielle 30-03-20 à 11:05

jean3 en attendant ton retour, je me permets de détailler un peu

2\,y'+3\,y=0

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{2}\,y

\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{3}{2}\,dx

ln|y|=-\dfrac{3}{2}\,x +ln(C)

ln\dfrac{y}{C}=-\dfrac{3}{2}\,x

y=C\,e^{-\dfrac{3}{2}\,x}

Posté par
jean3re : équation différentielle 30-03-20 à 11:20

Bon résultat pour l'équation homogène de  (E). Il ne reste plus qu'a conclure en n'oubliant pas la valeur numérique de C.

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 30-03-20 à 14:03

bonjour jean3
pour (E)
je dois remplacer y par 0 et x par 1 dans y=Cst*e\frac{-3}{2}x ?

je dois avouer que le cours via internet ne permet pas l'échange entre élève et professeur ...

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 30-03-20 à 14:07

je vais devoir m'absenter pour vidéoconférence à partir de 14h30. veuillez m'excuser. je reprendrai le fil en fin d'après midi  
je tiens à remercier jean3 et Pirho pour l'aide

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 30-03-20 à 14:26

Petitemaute06 @ 30-03-2020 à 14:03

bonjour jean3
pour (E)
je dois remplacer y par 0 et x par 1 dans y=Cst*e\frac{-3}{2}x ?

je dois avouer que le cours via internet ne permet pas l'échange entre élève et professeur ...


Non
Voir
lafol @ 30-03-2020 à 10:57

Pour la première équation attention.
La condition initiale porte sur la solution de l'équation complète ! Pas sur juste un morceau de solution....
À terminer avant de passer à l'autre équation (qui n'aurait pas dû être dans le même sujet pour éviter ce qui est en train d'arriver : une grosse salade entre les deux)

Posté par
jean3re : équation différentielle 30-03-20 à 15:29

Résumons la première équation

y= = 21/13𝑐𝑜𝑠𝑥 + 14/13𝑠𝑖𝑛𝑥 +C e^{-3x/2}
Il nous reste à remplacer x par 0  et y par 1
Regarde bien ce que vaut cos 0   et   sin 0

Pour la deuxième équation il faudra faire le même travail.

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 30-03-20 à 15:50

jean3 @ 30-03-2020 à 15:29

Résumons la première équation

y= = 21/13𝑐𝑜𝑠𝑥 + 14/13𝑠𝑖𝑛𝑥 +C e^{-3x/2}
Il nous reste à remplacer x par 0  et y par 1
Regarde bien ce que vaut cos 0   et   sin 0

Pour la deuxième équation il faudra faire le même travail.


y=  21/13𝑐𝑜𝑠𝑥 + 14/13𝑠𝑖𝑛𝑥 +C e-3x/2
1=  21/13𝑐𝑜𝑠0 + 14/13𝑠𝑖𝑛0 +C e-3(0)/2
1=21/13+C
C=-8/13

==> y=  21/13𝑐𝑜𝑠𝑥 + 14/13𝑠𝑖𝑛𝑥 -\frac{8}{13}e\frac{-3}{2}x

?  

Posté par
luzakre : équation différentielle 30-03-20 à 16:00

Pirho @ 30-03-2020 à 11:05

jean3 en attendant ton retour, je me permets de détailler un peu
2\,y'+3\,y=0
\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{2}\,y             ...          \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{3}{2}\,dx
ln|y|=-\dfrac{3}{2}\,x +ln(C)                ...        ln\dfrac{y}{C}=-\dfrac{3}{2}\,x
y=C\,e^{-\dfrac{3}{2}\,x}

Bonjour et désolé mais je ne pense pas que ce soit une bonne façon de rédiger la solution !
1. Il faudrait indiquer qu'on reste sur un intervalle où la fonction ne s'annule pas, ce qui complique énormément car on ne le sait pas à priori.
2. Quand on devra chercher une solution non numérique (fonction à valeurs complexes ou autre) le passage au logarithme posera problème.
3. et je ne parle pas du "cinéma" avec les dx,dy qu'on traite comme des nombres ni de l'escamotage consistant à remplacer \dfrac{|y|}C par \dfrac yC.

Je pense qu'il est indispensable d'indiquer aux apprenants que pour résoudre l'équation y'+a(x)y=0 il suffit
. de vérifier que la fonction a est continue sur l'intervalle souhaité (ici c'est une fonction constante)
. de savoir que si A désigne une primitive de a la fonction x\mapsto\exp(-A(x)) est une solution non identiquement nulle.

Posté par
Pirhore : équation différentielle 30-03-20 à 16:05

Bonjour luzak

oui c'est vrai il y a quelques "approximations" voire erreurs peut-être

Pourrais-tu nous indiquer la rédaction tout à fait correcte et rigoureuse.

Merci d'avance

Posté par
jean3re : équation différentielle 30-03-20 à 17:34

Nous ne sommes pas au niveau de la licence de math. Je n'ai donc pas parler de la théorie des équations différentielles dans le contexte de cet exercice pensant que c'était du cours et que nous avions deux petits exercices d'application. J'ai donc écrit hier à 19h53
Cours:
Toutes les solutions de l'équation différentielle  y' - a.y = 0  sont de la forme :
f(x) = C e^{-ax}
Petitemaude06 nous a donner la solution de la première équation. Il lui reste à nous donner la solution de la deuxième.

Posté par
jean3re : équation différentielle 30-03-20 à 17:50

Nous ne sommes pas au niveau de la licence. Nous avons deux petits exercices d'application à résoudre. C'est pourquoi j'ai écrit:
Cours:
Toutes les solutions de l'équation différentielle  y' - a.y = 0  sont de la forme :
f(x)=C e^{-ax}
Petitemaude06 nous a donné la réponse pour la première équation.
Il lui reste à nous donner la deuxième.

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 30-03-20 à 18:00

Bonjour

pour moi si f(x) = Ce^{-ax}, alors f'(x) = -af(x) et donc f n'est pas solution de y'-ay=0 mais de y'+ay=0...
apprendre par cœur je n'ai jamais été fan (pas assez de mémoire pour ça ), je préfère avoir des moyens mnémotechniques (et je considère la méthode proposée par Pirho comme un moyen mnémotechnique) pour éviter ce genre d'erreur qui peut être gravissime (penser que les amplitudes vont être en exponentielle décroissante alors que c'est le contraire, suivant ce qu'on est en train de calculer, ça peut signifier des dégâts considérables ....)

à tout le moins si on apprend par cœur le résultat, prendre l'habitude de le contrôler en dérivant f ....

Posté par
Pirhore : équation différentielle 30-03-20 à 18:28

luzak

je suppose que tu considères que ce qui suit est correct et rigoureux

pour y\ne 0 avec des équivalences entre chaque ligne

2\,y'+3\,y=0

\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{3}{2}

ln|y|=-\dfrac{3}{2}x+C avec C\in \mathbb R

|y|=e^{-\dfrac{3}{2}x}\,e^C\

y=\pm e^C\,e^{-\dfrac{3}{2}\,x}

y=k\,e^{-\dfrac{3}{2}x}}   avec k=\pm e^{C}    k\in \mathbb R^{*}

merci d'avance

Posté par
jean3re : équation différentielle 30-03-20 à 18:33

Je plaide coupable pour la faute de signe. Je l'avais correctement écrit hier.

Toutes les solutions de l'équation différentielle  y' - a.y = 0  sont de la forme :
f(x)=C.e^{a.x}
a étant une constante non nulle

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle 30-03-20 à 18:56

Pirho @ 30-03-2020 à 18:28

luzak

je suppose que tu considères que ce qui suit est correct et rigoureux

pour y\ne 0 avec des équivalences entre chaque ligne

2\,y'+3\,y=0

\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{3}{2}

ln|y|=-\dfrac{3}{2}x+C avec C\in \mathbb R

|y|=e^{-\dfrac{3}{2}x}\,e^C\

y=\pm e^C\,e^{-\dfrac{3}{2}\,x}

y=k\,e^{-\dfrac{3}{2}x}} avec k=\pm e^{C} k\in \mathbb R^{*}

merci d'avance


Luzak, je ne sais pas, moi pas : il faut justifier proprement pourquoi y ne changerait pas de signe, pourquoi il ne s'annulerait nulle part
ceci dit, je fais aussi comme ça, mais au brouillon et sans détails, pour éviter d'encombrer ma mémoire de poisson rouge avec une solution apprise par coeur

Posté par
Petitemaute06re : équation différentielle 30-03-20 à 18:58

2y'+3y=6x+2
2f'(x)+3f(x)=6x+2
2a+3(ax+b)=6x+2
2a+3ax+3b=6x+2

d'où le système :
3a=6
2a+3b=2

=>a=6/3=2
2*2+3b=2
4+3b=2
3b=-2
b=-2/3

vérification :
3*2=6
2*2+3*(-2/3)=2

donc y0= 2x-2/3
y=c*e-3x/2

Y=2x-2/3 +c*e-3x/2

1=-2/3+c
c=5/3

==> y=2x-2/3  +5/3e-3x/2

Posté par
Pirhore : équation différentielle 30-03-20 à 19:21

lafol

tout d'abord , merci pour ton commentaire; donc  "mon" y\ne 0 n'est pas suffisant, il vaudrait mieux y adjoindre une phrase précisant ce que tu viens de dire

Citation :
Luzak, je ne sais pas, moi pas : il faut justifier proprement pourquoi y ne changerait pas de signe, pourquoi il ne s'annulerait nulle part

maintenant je crois me souvenir que, Robot ,qui malheureusement a quitté l'île, avait déjà fait un commentaire à ce sujet

dans le cas présent c'est facile puisque e^{-\dfrac{3}{2}\,x} est toujours positif,

cette rigueur ne s'applique pas au "Lycée" évidemment?

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !