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Equation différentielle

Posté par
candily 09-03-21 à 12:43

Bonjour,
J'ai du mal avec cet exercice.
J'ai fait les 3 premières questions sans problème mais dans la 4ème question, je n'arrive pas à faire le lien avec ce qui précède.
Pourriez-vous me donner un indice ?
Désolée pour la mise en forme, je suis nouvelle et je ne maitrise pas encore tout... Du coup j'ai un peu abrégé l'énoncé.

Merci et très bonne journée !

L'exercice :
On souhaite résoudre l'équation différentielle (E) : y'' + by' +c  =0.
1) Montrer que la fonction x\rightarrow e^(\alpha x)
est solution de (E) si et seulement si est solution de l'équation x^2 + bx + c = 0.
Cette équation est appelée équation caractéristique de (E)
On suppose par la suite que b2 - 4ac 0

2) L'équation caractéristique admet au moins une racine 1
La fonction y1 : x e1x est donc une solution particulière de (E).
a. Montrer que quelque soit le réel k, la fonction ky1 est aussi solution de (E).
b. On note 2 l'autre solution de l'équation caractéristique.
Démontrer que 1 + 2 = - b et 12 = c

3) On considère une solution y de (E) et on note z = y' - 1y.
a. Montrer que z vérifie l'équation différentielle z' - 2z = 0
b. Montrer qu'il existe une constante C telle que pour tout réel x : y'(x) - 1y(x) = C e2x
4) Dans le cas où b2 4c, justifier que pour toute solution y de (E) il existe deux constantes A et B telles que pour tout réel x,  y(x) = A e1x + B e2x

Il y a une suite mais je devrais savoir faire. Ce qui m'énerve c'est qu'en fait je ne comprends pas le fil directeur de cet exercice.

Posté par
lakere : Equation différentielle 09-03-21 à 15:03

Bonjour,

4) Pour tout y solution de E, il existe une constante C_1 tel que:

   y'(x)-\alpha_1\,y(x)=C_1e^{\alpha_2 x} (1)

de la même manière, il existe une constante C_2 tel que :

   y'(x)-\alpha_2\,y(x)=C_2e^{\alpha_1 x} (2)

Puisque b^2\not=4c, \alpha_1 \not= \alpha_2

Tu peux faire la différence membre à membre de (1) et (2)

Posté par
lakere : Equation différentielle 09-03-21 à 15:31

Citation :
Ce qui m'énerve c'est qu'en fait je ne comprends pas le fil directeur de cet exercice.


A l'issue de cette question 4), il a été prouvé, dans le cas où b^2\not=4c, que pour toute solution de E, il existait deux constantes A et B tel que :

   y(x)=A\,e^{\alpha_1\,x}+B\,e^{\alpha_2\,x}

Une question se pose : est-ce que toute fonction y définie par :

   y(x)=A\,e^{\alpha_1\,x}+B\,e^{\alpha_2\,x} où A et B sont des constantes quelconques est solution de E

C'est la réciproque que tu verras probablement dans une question 5).

Une fois fait, tu auras déterminé toutes les solutions de E.

Posté par
candilyre : Equation différentielle 09-03-21 à 18:31

Un grand merci Lake, ça y est j'ai compris !

Posté par
lakere : Equation différentielle 09-03-21 à 18:37

De rien candily
Au vu de l'ensemble de ton fil, je pense que tu es une excellente élève  de Terminale.
Bon vent à toi!

Posté par
lakere : Equation différentielle 09-03-21 à 20:12

Juste une petite rectification dans l"énoncé :

Citation :
On souhaite résoudre l'équation différentielle (E) : y'' + by' +c  =0.

J'avais vu puis oublié en cours de route :

  
Citation :
On souhaite résoudre l'équation différentielle (E) : y'' + by' +cy  =0.


Posté par
candilyre : Equation différentielle 09-03-21 à 22:59

Oui j'avais oublié y.
Maintenant, je me demande ce qui se passe quand  b2 = 4c...

Posté par
lakere : Equation différentielle 09-03-21 à 23:04

Hem... Ton énoncé en parle-t-il ? Autrement dit, y a-t-il une suite dans cet énoncé ?
Ou  bien est-ce une question que tu te poses ? (très judicieuse d'ailleurs )

Posté par
candilyre : Equation différentielle 10-03-21 à 08:52

Bonjour,
Non ce n'est pas une question de mon exercice.
Mais j'ai l'impression de ne pas comprendre complètement cette notion d'équations différentielles alors j'ai cherché des cours sur internet et j'ai vu que dans ce cas la solution est de la forme y = (ax + b)ex.
J'essaie de comprendre pourquoi...

Posté par
lakere : Equation différentielle 10-03-21 à 11:02

Bon, on va continuer sous forme d'exercice :

On suppose maintenant que b^2=4c. L'équation caractéristique a alors une racine double \alpha=-\dfrac{b}{2}

1) On pose y(x)=z(x)\,e^{\alpha\,x}

  Montre que  y est solution de (E), si et seulement si  z est solution de l'équation différentielle :

     z''(x)=0

2) Détermine z(x)

3) Conclus.

Évidemment il y a aussi le troisième cas lorsque b^2<4c strictement...

Posté par
candilyre : Equation différentielle 10-03-21 à 12:39

D'accord.
J'ai trouvé z(x) = y(x)e-x
Puis z"(x) = e-x(y"(x) - 2y(x) + 2y(x))
Ensuite :
z''(x) = 0 y"(x) - 2y'(x) + 2 y(x) = 0 puisque e-x >0
Or d'après la question 2.b  2 = -b et 2 = c
Donc on obtient effectivement y solution de (E) si et seulement si z"(x) = 0
Et donc il existe deux constantes réelles A et B telles que z(x) = Ax + B
Et finalement y(x) = ex(Ax + B)

Mais je n'aurais JAMAIS pensé à poser y(x) = z(x)ex
Merci vraiment pour ton aide !

Posté par
lakere : Equation différentielle 10-03-21 à 12:41


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