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Equation différentielle
Bonsoir à tous,
Je suis bloqué sur une question.
Je m'intéresse à cette équation :
Soit . Prouver que :
- pour tout
- pour tout
où J représente l'intervalle de définition de l'unique solution de cette équation.
Je sais qu'il faut utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz mais je ne suis pas sûr de savoir montrer que est localement lipschitzienne. Je pensais dériver partiellement par rapport à la variable x et montrer que la fonction est localement lipschitzienne sur
ℝ x
dans un premier temps puis utiliser le théorème des accroissements finis.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence d'une unique solution au voisinage
de la condition initiale.
Pour calculer cette solution on procède par séparation des variables, pour et
décomposer en éléments simples
La fonction (t,y)→f(t,y)= est continue et de classe C1 par rapport à x pour tout x parce que composition de fonctions de classe C1. Ceci implique que elle est localement lipschitzienne et à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz il existe une unique solution locale du problème de Cauchy pour toute condition initiale.
Bonsoir
1.Pour justifier l'utilisation de CL : F : (t,x) 
tx(2 - x) est C
.
2.CL affirme que pour tout a réel il existe une seule solution maximale x : J 
(où J est un intervalle ouvert contenant 0 ) et telle que x x(0) = a .
Il affirme aussi que si (U , f) et (V , g) sont des solutions maximales et s'il existe t 
U 
V tel que f(t) = g(t) alors U = V et f = g .
Ici il y a 2 solutions maximales évidentes . Il faut les utiliser
Merci pour vos réponses.
Du coup pour montrer qu'une fonction est localement lipschitzienne, il suffit de qu'elle soit de classe C1 ? Je n'avais bien pas compris la définition alors, je vous remercie.
CL affirme que pour tout a réel il existe une seule solution maximale x : J (où J est un intervalle ouvert contenant 0 ) et telle que x x(0) = a .
L'équation différentielle est localement lipschitzienne sur
1 = J x ]-, 0[
]0,2[donc par application du théorème de CL, pour toute condition initiale (t0, x0) 1, il existe une unique solution maximale x qui satisfait y(t0) = y0 et donc si x0 <
alors x(t) < pour tout t J.
Merci pour vos retours.
Ce n'est pas une équation différentielle qui est "est localement lipschitzienne " .
Dans ton exo on a une application [rouge]F [/rouge]de ² vers qui est C .C'est elle qui est localement lipschitzienne .
L'énoncé tel que tu l'a donné , ne présente pas t0 . Il peut être n'importe où dans .
Ton raisonnement doit commencer par :
Soit t0 , a ) ² et (J , x) la solution maximale vérifiant x(t0) = a .
etc...
Par ailleurs : as tu identifié les 2 solutions maximales évidentes dont je t'ai parlé ?
Merci pour les corrections.
Pour les solutions évidentes, je suppose que tu veux parler des solutions stationnaires :
et
Désolé, fausse manip.
Je n'ai pas noté la question (1) précède la question initiale (2) du post qui est :
Montrer que pour tout x0 , l'équation possède une unique solution maximale satisfaisant x(0) = x0. On note J(x0) 
l'intervalle de définition de cette solution.
L'énoncé tel que tu l'a donné , ne présente pas t0 . Il peut être n'importe où dans
.
Ton raisonnement doit commencer par :
Soit t0 , a )
² et (J , x) la solution maximale vérifiant x(t0) = a .
etc...
Le terme
= J(x0) x ]-, 0[ U]0,2[ donc par application du théorème de CL, pour toute condition initiale (t0, x0) , il existe une unique solution maximale x qui satisfait x(t0) = x0 et donc si x0 < alors x(t) < pour tout t J(x0).
On utilise le même raisonnement pour montrer que si x0 >
alors x(t) > pour tout t J(x0) mais cette fois en se plaçant sur = ]0,2[U]2, +[
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