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Equation différentielle avec second membre
Bonjour à tous! 
Alors voilà je suis tombé sur un exercice sur les équations différentielles que je n'arrive pas à résoudre. J'ai beau essayer et je n'y arrive pas. Je coince à partir de la question b de la partie B. Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait super sympa... 
Merci d'avance et bonne journée!
PARTIE A
On donne dans un repère orthogonal, les courbes C et F représentatives de deux fonctions définies et dérivables sur 
. On sait que l'une de ces fonctions est la fonction dérivée de l'autre, on peut donc les noter g et g'.
a) Associer à chacune des fonctions g et g' sa représentation graphique. On justifiera le résultat en donnant un tableau où figurera sur l'interval [-3/2;5], le signe de g'(x) et les variations de g.
b) Quel est le coefficient directeur de la tangente de C au point d'abscisse 0?
PARTIE B
Soit l'équation différentielle (E) y'+y=2(x+1)exp-x
a) Montrer que la fonction f0 définie sur par:
f0(x)=(x2+2x)exp-x est une solution de l'équation (E)
b) Résoudre l'équation différentielle (E') y'+y=0
c) Soit u une solution de (E'). Montrer que la fonction f0+u est une solution de (E). On admettra que, récirpoquement, toute solution f de (E) est de la forme f=f0+u où u est une solution de (E').
En déduire pour x réel, l'expression de f(x) lorsque f est solution de (E).
d) Sachant que la fonction g de la partie A est solution de (E), déterminer g(x) pour x réel.
e) Déterminer la solution h de l'équation (E) dont la représentation graphique admet au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient 0.
Bonjour,
Pour la question b. de la partie B, vous pouvez regarder la fiche de Maths de Terminale sur les équations différentielles dans ce site.
Bonjour,
Dans la partie B,
a) il faut calculer f0' puis lui additionner f0 et vérifier que l'on obtient bien 2(x+1)exp(-x)
b) c'est une équation de cours.
les solutions sont de la forme
C.exp(-x) avec C une constante
c) u solution de (E') soit u'+u=0
donc
(u+f0)'+(u+f0)
=u'+u+f0'+f0
=0+2(x+1)exp(-x)
conclure
Je te laisse poursuivre...
Bonjour
la solution y'+y=0 est y = a exp(-x) (c'est du cours)
soit u=a exp(-x)
alors f0+u reporté dans (E) donne 0=0 ((E) est vérifiée par y=f0+u
donc la solution générale(c'est une famille de fonctions avec a comme paramètre) est
f(x)=(x²+2x+a)exp(-x)
si g(x) est solution alors g(0)=1 permet de déterminer a+1 et g(x)=(x²+2x+1)exp(-x)
f'=[2(x+1)-(x²+2x)-a]exp(-x)
avec h'(0)=0 on obtient a=2
h(x)=(x²+2x+2)exp(-x)
sauf erreur de ma part
Joyeuses fêtes
Merci tout le monde!
Par contre je n'ai pas compris ta façon de faire takhasys pour la question c)
Pourrais tu m'expliquer autrement ou pas? car Victor ne fait pas pareil.
Bonjour!
Non en fait j'y ai réfléchi toute la nuit et c'est juste la réponse de la question e) que je ne comprend pas bien.
Autre question:
On a f(x)=(x2+2x+2)exp-x
J'aimerai passer l'indétermination de la limite en -oo mais je n'y arrive pas.
La dérivée est-elle bien: -x2exp-x ?
Si oui suffit-il de dire que x2 est toujours positif et exp-x aussi donc f'(x) est négative et donc f(x) décroissante...
Merci de m'éclairer!
e)
y'+y = 0
-> solutions: y = A.e^-x
Une solution particulière de y'+y=2(x+1).e^-x est y = (x²+2x).e^-x
Solutions générales de y'+y=2(x+1).e^-x:
y = A.e^-x + (x²+2x).e^-x
On a donc: y' = -Ae^-x + (2x+2).e^-x - (x²+2x).e^-x
y' = (-A+2x+2-x²-2x).e^-x
y' = (-A+2-x²).e^-x
la représentation graphique de y(x) admet au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient 0 -> y'(0) = 0
-> (-A+2-0²).e^-0 = 0
-A+2 = 0
A = 2
-> h(x) = 2.e^-x + (x²+2x).e^-x
h(x) = (x²+2x+2).e^-x
-----
f(x)=(x²+2x+2)e^-x
lim(x-> -oo) f(x) = (oo)*e^(-(-oo)) = oo * oo = oo
Il n'y a aucune indétermination pour calculer la limite en -oo de f(x)
Par contre, pour la limite en +oo, on a:
lim(x-> +oo) f(x) est de la forme oo * 0, soit une indétermination.
L'exponentielle es prépondéente sur les puissance et donc: lim(x-> +oo) f(x) = 0
-----
f(x)=(x²+2x+2)e^-x
f '(x) = (2x+2).e^-x - (x²+2x+2).e^-x
f '(x) = (-x²-2x-2+2x+2).e^-x
f '(x) = -x².e^-x
e^-x est > 0 quel que soit x -> f '(x) a le signe de -x²
f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[
On a donc f'x) <= 0 sur R et f(x) est strictement décroissante sur R.
-----
Sauf distraction.
Merci beaucoup c'est très clair comme ça! 
Alors après dans mon ennoncé on me dit:
a) Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C' au point 
d'abscisse -1 (où C' est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal (O;i,j))
Après calcul je tombe sur l'équation y=-e(x)
Mais là où tout se complique vraiment c'est sur les deux questions qui arrivent car je n'ai pas vu les primitives.
b) Déterminer trois réels a,b et c tels que la fonction F définie par F(x)=(ax2+bx+c)e^-x soit une primitive de la fonction f sur
c) 
est un réel positif. Calculer en cm² l'aire, notée A(), du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe C' et les droites d'équations respectives x=0 et x=
Merci de m'aider sur ces deux questions!
Personne ne peut m'aider sur ces deux dernières questions? 
a)
f(x)=(x²+2x+2)e^-x
f '(x) = -x².e^-x
f(-1) = (1-2+2)e = e
f '(-1) = -e
T: y - e = (x+1).(-e)
T: y = -e.x - e + e
T: y = -e.x
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b)
F(x)=(ax²+bx+c).e^-x
Si F(x) est une primitive de f(x), on a : F'(x) = f(x)
F'(x) = (2ax+b).e^-x - (ax²+bx+c).e^-x
F'(x) = (-ax²+x(2a-b)+b-c).e^-x (1)
f(x) = (x²+2x+2)e^-x (2)
En identifiant les seconds membres de (1) et (2), on a le système:
-a = 1
2a-b = 2
b-c = 2
Qui résolu donne: a = -1, b = -4 et c = -6
F(x) = (-x²-4x-6).e^-x
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c)
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Sauf distraction.
Merci beaucoup J-P c'est trop sympa de prendre un peu de ton temps pour m'aider!
Par contre je n'ai pas du tout compris la c) si tu pouvais m'expliquer rapidement si tu en as le temps...
Si, comme tu l'écris tu n'as pas vu les primitives, on peut alors supposer que tu n'as pas vu non plus les intégrales.
Il est alors assez vain d'essayer de comprendre la partie c de l'exercice.
Cette partie est assez basique, mais on ne peut pas l'aborder sans avoir une idée de ce que représente une intégrale.
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