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Equation différentielle avec second membre
Bonjour à tous !
Je rencontre quelques difficultées avec un exercice de maths, en espèrent que quelqu'un pourra m'aider à comprendre:
Partie A:
Soit l'équation différentielle (E) y'+y= 2(x+1)ewp(-x)
a) Montrer que la fonction f0 définie sur R par f0(x)= (x²+2x)exp(-x) est une solution de l'équation (E).
J'ai d'abord cherchée la dérivée de f0. J'ai trouvé:
f'0=exp(-x[2-x²]
Puis f'0+f0= exp(-x)[2-x²]+[x²+2x]exp(-x)
= exp(-x)[2+2x]
= 2[x+1]exp(-x)
donc f0 est une solution de (E)
b) Résoudre l'equation différentielle (E'): y'+y=0
J'obtiens: les fonctions y(x)= Cesp(-x) avec C appartenant à R
c)Soit f une fonction dérivable sur R
Montrer que f est solution de (E) ssi f-f0 est solution de (E')
(f-f0)'+(f-f0)= f'+f-2(x+1)exp(-x)
f-f0 est solution de (E') ssi f-f0=0
f'+f-2(x+1)exp(-x)=0
f'+f= 2(x+1)exp(-x)
d'où f est une solution de (E)
Pour cette question j'ai essayé de prendre exemple sur un exercice fait en cours, mais je ne suis absolument pas sur de moi. Je ne crois pas avoir vraiment montré ce que l'on attend de moi.
En déduire pour tout x réel l'expression de f(x) lorsque f est solution de (E). Là je ne sais absolument pas !
d) Déterminer la solution h de (E) dont la représentation graphique admet au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0.
Si le coef dir de la tangente=0 alors h'(0)=0 Mais après je ne sais pas !
Partie B:
f est la fonction numérique définie sur R par f(x)= (x²+2x+2)exp(-x)
1. Etudier les limites de f en + et - l'infini
lim en + l'infini=0car lim de x²/exp(x)=0 et 2x/exp(x)=0 et 2/exp(x)=0
Mais je ne trouve pas en - l'infini.
2. On sait que f est dérivable sur R: déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de f.
J'ai fait. J'ai trouvé (-2x-2)exp(-x) pour la dérivée.
Est ce que c'est juste ?
Merci d'avance pour votre aide 
alors pour c) on admet que f-f0 est solution de (E')
donc (f-f0)'+(f-f0)=0
donc f'+f-(f0'+f0)=0
donc f'+f= f0'+f0
et vu que f0 est solution de (E)
donc f est solution de (E)
et dans l autre sens est vrai aussi
donc f est solution de (E) ssi f-f0 est solution de (E')
donc f-f0=y
f(x)=f0(x)+y(x)
= .......(tu remplace f0 et y trouver en a) et b))
Rebonjour,
J'ai continuée à chercher et pour la question d) de la partie A j'obtiens:
h est une solution de l'équation (E) donc h(x)= (x²+2x+C)e-x, c
d'ou h'(x)= (2x+2)e-x+(x²+2x+C)*(-e-x), C
= (-x²+2-C)e-x, C
De plus: h'(0)=0
(2-C)=0, C
C=2
d'où h(x)= (x²+2x+2)e-x
Est-ce que c'est juste ?
Alors je reprend pour la Partie B:
Dérivée:
f(x)=(x²+2x+2)e-x
f'(x) est de la forme u'v+uv' avec u=(x²+2x+2) et v=e-x
Donc f'(x)= (2x+2)e-x+(x²+2x+2)*(-e-x)
= 2xe-x+2e-x-x²e-x-2xe-x-2e-x
= -x²e-x ??
Ce qui me donnerai pour le tableau de variation :
-x² négatif sur ]-
;+[ et nul en 0
e-x positif dans
d'où f'(x) négatif sur ]-;+[ , s'annulant en 0
f(x) décroissante sur l'intervalle ]- ;+[, et nulle en 0
Pour les limites je vois pas en quoi ça aide de changer de variable 
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