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Niveau Licence Maths 1e ann
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Equation différentielle d'ordre 1

Posté par
scoatarin
18-01-17 à 10:14

Bonjour à tous,

Merci de me dire si j'ai bien résolu  cette équation différentielle :

                                 (1 + ex) y' + ex y = (1 + ex) sur

        (1 + ex) y' + (1 + ex)' y = (1 + ex)

         (1 + ex) y(x) = x + ex + C

         y(x) = (x + ex + C) / (1 + ex)  sur .

Posté par
lake
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 10:23

Bonjour,

Très joli!

Posté par
lake
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 10:28

Tu nous l' as faite à la carpediem

Posté par
scoatarin
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 10:51

lake @ 18-01-2017 à 10:28

Tu nous l' as faite à la carpediem


Je n'ai qu'essayer modestement d'appliquer une idée que carpediem m'a proposée lors de l'autre exercice posté précédemment.

Je le remercie à nouveau pour cette idée   

Posté par
scoatarin
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 14:27

Merci de m'aider à résoudre cette équation différentielle :

                                x (1 + ln2(x)) y' + 2 ln(x) y = 1  sur +*

J'ai cherché la solution générale de l'équation homogène et je trouve:

y(x) = K ln(x) / (x (1 + ln2(x))

Ensuite j'ai essayé de trouver une solution particulière de l'équation avec second membre mais je n'y suis pas arrivé.  

Posté par
lake
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 14:40

Bonjour,

Toujours à la carpediem en divisant par x

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 14:40

Bonjour scoatarin.

Si tu poses t(x) = \ln(x) tu obtiens : (1+t^2)y'+(1+t^2)'y = \dfrac{1}{x}

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 15:03

Je précise : je l'ai faite à la jsvdb, c'est-à-dire, comme je le disais dans un post précédent, à la tête de l'équation ... ...

Enfin, encore que, une rédaction rigoureuse consiste d'abord à dire :

Soit (E) l'équation x (1 + \ln^2(x)) y' + 2 \ln(x) y = 1 où y représente une fonction réelle sur \R^*_+ de classe C^1.

Pour x > 0, (E) peut être mise sous la forme (E)' : y'= \dfrac{1- 2 \ln(x) y}{x (1 + \ln^2(x))}

Soit f la fonction définie sur \R^*_+ \times \R, f(x,y) = \dfrac{1- 2 \ln(x) y}{x (1 + \ln^2(x))}

La fonction f étant clairement lipschitzienne en sa seconde variable (elle est même C^\infty en sa seconde variable), alors pour tout (x_0,y_0) \in \R^*_+ \times \R, il existe une unique solution maximale \varphi_{(x_0,y_0)} vérifiant (E)' et telle que \varphi_{(x_0,y_0)}(x_0) = y_0.

Ensuite, la théorème de CL ne disant rien sur la construction de \varphi_{(x_0,y_0)}, on fait avec les outils dont on dispose, et y'a pas une solution qui soit meilleure qu'une autre (peut-être de plus rapides que d'autres ... ça, ok !) et on bidouille autant qu'on veut, sachant qu'on a l'assurance de l'existence et de l'unicité.

Puis, à titre de bonus, on regarde si, par hasard, on peut pas prolonger \varphi_{(x_0,y_0)} à 0 en fonction de la condition initiale : il se trouve qu'ici ce bonus peut être envisagé.

Posté par
scoatarin
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 15:29

jsvdb @ 18-01-2017 à 14:40

Bonjour scoatarin.

Si tu poses t(x) = \ln(x) tu obtiens : (1+t^2)y'+(1+t^2)'y = \dfrac{1}{x}
  

Enfin, on calcule une primitive de chacun des deux membres de cette égalité ce qui donne:

y(x) = (C + ln(x)) / (1 + ln²(x))

Merci pour vos réponses.

J'aurai aimé savoir si la solution générale de l'équation homogène que j'ai écris est juste et si elle est fausse, comment arriver à une solution juste par la méthode standard.    

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 16:01

Ne crois-tu pas que tu pourrais répondre toi-même via la même indication : (1+t^2)y'+(1+t^2)'y = ((1+t^2)y)'=0

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 16:09

scoatarin @ 18-01-2017 à 15:29

comment arriver à une solution juste par la méthode standard.    


Rhaaaaaa !  pour la recherche pratique des solutions, il n'y a pas de méthode standard ! Tu veux enflammer le topic ... ???

Comme je te l'expliquais dans un post récent, à ce niveau, seul le "génie de chacun" permet de résoudre.
Et perso, j'aime beaucoup la diversité de chacun, ça me permet de pomper des tas de façons de faire.

En revanche, quitte à me répéter, tu ne dois pas couper à l'étape que j'ai décrite 18-01-17 à 15:03, et qui, cette fois, et pour les EDO est la méthode standard par ZE théorème de Cauchy-Lipschitz pour montrer existence et unicité des solutions.

PUIS ENSUITE, après l'obligatoire C-L qui permet de localiser les solutions, la recherche pratique des solutions est un vaste champ où chacun peut s'exprimer selon ses talents.

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 16:13

jsvdb @ 18-01-2017 à 16:01

Ne crois-tu pas que tu pourrais répondre toi-même via la même indication : (1+t^2)y'+(1+t^2)'y = ((1+t^2)y)'=0

Tu noteras au passage que, pour le problème posé et via cette méthode, cette recherche de la solution homogène ne sert rigoureusement à rien !

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 16:18

Sinon, autant résoudre le problème plus général : (1+t^2)y'+(1+t^2)'y = u(x) où u est disons continue sur \R^*_+(on peut aussi le faire pour u seulement localement intégrable, mais là, il faut des outils un peu plus élaborés)

Posté par
scoatarin
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 17:21

Merci bien à tous pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 17:32

salut

lake @ 18-01-2017 à 14:40

Bonjour,

Toujours à la carpediem en divisant par x


scoatarin @ 18-01-2017 à 14:27

Merci de m'aider à résoudre cette équation différentielle :

                                x (1 + ln2(x)) y' + 2 ln(x) y = 1  sur +*

J'ai cherché la solution générale de l'équation homogène et je trouve:

y(x) = K ln(x) / (x (1 + ln2(x))

Ensuite j'ai essayé de trouver une solution particulière de l'équation avec second membre mais je n'y suis pas arrivé.  


bon la méthode moi est intéressante puisqu'elle stimule la mémoire puisqu'elle consiste essentiellement à reconnaitre ses formules de lycée ...

cependant il est bon de connaitre les méthodes ""standard""

donc tu dis que tu as essayé ... alors montre ...

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 17:47

Bon, d'accord, je reconnais, si tu appelles ""méthodes standard"" au sens où des choses doivent être reconnues au premier coup d'oeil ... ça me va ! ... je vais pas appeler les pompiers ...

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 17:49

On dira également ... "Oh ! Mais je vois que monsieur connaît ses classiques" ...

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 17:54

méthode standard :

1/ résolution de l'ESSM

2/ recherche d'une solution particulière par la méthode de variation de la constante


méthode standard variante :

1/ résolution de l'ESSM

2/ recherche d'une solution particulière ""de même forme"" que le second membre


méthode non standard :

toute méthode qui permet ... de se passer de la méthode standard ...


Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 17:59

sacré carpediem ... ptdr ... ... allez tiens pour toi : ... et une bière ...

Posté par
jsvdb
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 18:06

Et évidemment, avant toute méthode utilisée, standard ou pas, on n'oublie pas Cauchy-Lipschitz, ZE théorème standard consacré par, précisément Cauchy et Lipschitz (je sais, des petites pointure à côté de moa, koa ! ) ... ouui Meuusieu , j'insiste ! ...
_______________
Quoi mes chevilles, elles ont quoi mes chevilles ?

Posté par
scoatarin
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 18:47

Voici donc le début de ce que j'ai écris au brouillon:

Cherchons la solution générale de l'équation homogène:

x(1 +ln²(x)) y' + 2 ln(x) y = 0

y'/y = - (2 ln(x)) / x (1 + ln²(x))

ln |y/K|  =  -2  ln  (\frac{ln(x)}{x(1 + ln^2(x))})

  |y/K|  =  -2   \frac{ln(x)}{x(1 + ln^2(x))}

  y  = K     \frac{ln(x)}{x(1 + ln^2(x))}

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 20:10

non la primitive du second membre est fausse ....

\dfrac {y'} y = - \dfrac {2 \frac 1 x \ln x}{1 + \ln^2x} est de la forme u'/u

et on t'a déjà donné la réponse ....

Posté par
scoatarin
re : Equation différentielle d'ordre 1 18-01-17 à 21:20

très bien, merci

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle d'ordre 1 19-01-17 à 10:03

et la suite ? (variation de la constante ?)

Posté par
scoatarin
re : Equation différentielle d'ordre 1 19-01-17 à 20:24

Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière de l'équation avec second membre.

On cherche y0(x) = K(x) /  (1+ln²x), avec K une fonction dérivable.
On trouve K'(x) = 1/x d'ou K(x) = ln x et  y0(x) = lnx / (1 + ln² x)

On fait la somme de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière  trouvée, ce qui donne les solutions suivantes de l'équation différentielle avec second membre:

y(x) = (ln x + K) / (1 + ln² x)

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle d'ordre 1 19-01-17 à 21:05

ok ...

Posté par
scoatarin
re : Equation différentielle d'ordre 1 19-01-17 à 21:14

Merci

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle d'ordre 1 19-01-17 à 21:23

de rien




conclusion :

1/ regarder pour voir si on peut ne pas se fatiguer ...

2/ si on ne peut pas ne pas se fatiguer ... alors il faut se fatiguer !!

3/ et c'est ainsi que l'on apprend  et que l'on acquiert de l'expérience



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