Bonjour à tous,
Merci de me dire si j'ai bien résolu cette équation différentielle :
(1 + ex) y' + ex y = (1 + ex) sur
(1 + ex) y' + (1 + ex)' y = (1 + ex)
(1 + ex) y(x) = x + ex + C
y(x) = (x + ex + C) / (1 + ex) sur .
Merci de m'aider à résoudre cette équation différentielle :
x (1 + ln2(x)) y' + 2 ln(x) y = 1 sur +*
J'ai cherché la solution générale de l'équation homogène et je trouve:
y(x) = K ln(x) / (x (1 + ln2(x))
Ensuite j'ai essayé de trouver une solution particulière de l'équation avec second membre mais je n'y suis pas arrivé.
Je précise : je l'ai faite à la jsvdb, c'est-à-dire, comme je le disais dans un post précédent, à la tête de l'équation ... ...
Enfin, encore que, une rédaction rigoureuse consiste d'abord à dire :
Soit (E) l'équation où y représente une fonction réelle sur de classe .
Pour x > 0, (E) peut être mise sous la forme
Soit f la fonction définie sur
La fonction f étant clairement lipschitzienne en sa seconde variable (elle est même en sa seconde variable), alors pour tout , il existe une unique solution maximale vérifiant (E)' et telle que .
Ensuite, la théorème de CL ne disant rien sur la construction de , on fait avec les outils dont on dispose, et y'a pas une solution qui soit meilleure qu'une autre (peut-être de plus rapides que d'autres ... ça, ok !) et on bidouille autant qu'on veut, sachant qu'on a l'assurance de l'existence et de l'unicité.
Puis, à titre de bonus, on regarde si, par hasard, on peut pas prolonger à 0 en fonction de la condition initiale : il se trouve qu'ici ce bonus peut être envisagé.
Sinon, autant résoudre le problème plus général : où u est disons continue sur (on peut aussi le faire pour u seulement localement intégrable, mais là, il faut des outils un peu plus élaborés)
salut
Bon, d'accord, je reconnais, si tu appelles ""méthodes standard"" au sens où des choses doivent être reconnues au premier coup d'oeil ... ça me va ! ... je vais pas appeler les pompiers ...
méthode standard :
1/ résolution de l'ESSM
2/ recherche d'une solution particulière par la méthode de variation de la constante
méthode standard variante :
1/ résolution de l'ESSM
2/ recherche d'une solution particulière ""de même forme"" que le second membre
méthode non standard :
toute méthode qui permet ... de se passer de la méthode standard ...
Et évidemment, avant toute méthode utilisée, standard ou pas, on n'oublie pas Cauchy-Lipschitz, ZE théorème standard consacré par, précisément Cauchy et Lipschitz (je sais, des petites pointure à côté de moa, koa ! ) ... ouui Meuusieu , j'insiste ! ...
_______________
Quoi mes chevilles, elles ont quoi mes chevilles ?
Voici donc le début de ce que j'ai écris au brouillon:
Cherchons la solution générale de l'équation homogène:
x(1 +ln²(x)) y' + 2 ln(x) y = 0
y'/y = - (2 ln(x)) / x (1 + ln²(x))
ln |y/K| =
|y/K| =
y = K
non la primitive du second membre est fausse ....
est de la forme u'/u
et on t'a déjà donné la réponse ....
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière de l'équation avec second membre.
On cherche y0(x) = K(x) / (1+ln²x), avec K une fonction dérivable.
On trouve K'(x) = 1/x d'ou K(x) = ln x et y0(x) = lnx / (1 + ln² x)
On fait la somme de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière trouvée, ce qui donne les solutions suivantes de l'équation différentielle avec second membre:
y(x) = (ln x + K) / (1 + ln² x)
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :